L'intégrale simple

Sachant que $(\tan\theta ) ' = 1 + \tan^2\theta ,$ nous modifions $\tan^3\theta$en

$\tan^3\theta = \tan^2\theta \tan\theta = [ ( 1 + \tan^2\theta ) - 1 ] \tan\theta$

d'où

$I_4=\int_0^{\pi/4}[(1+\tan^2\theta)-1]\tan\theta d\theta$

$I_4=\int_0^{\pi/4}(1+\tan^2\theta)\tan\theta d\theta - \int_0^{\pi/4}\tan\theta d\theta~~\color{red}\text{ (1 pt + 1 pt)}$

$I_4=\int_0^{\pi/4}\tan\theta d(\tan\theta) - \int_0^{\pi/4}\frac{-d(\cos\theta)}{\cos\theta}$

$=[\frac12\tan^2\theta+\ln|\cos\theta|]_0^{\pi/4}$

$I_4=\frac12\tan^2\frac{\pi}4+\ln\cos\frac{\pi}4$

$=\color{blue}\frac12+\ln\frac{\sqrt2}2$

$=\color{blue}\frac12(1-\ln 2)~~\color{red}\text{ (3 pts)}$