L'intégrale simple

1ère intégration par parties de \(I_1\)

On pose

\(\begin{array}{ll}u=x^2&dv=\cos3xdx\\du=2xdx&v=\frac13\sin3x\end{array}\)

d'où

\(I_1=\frac13x^2\sin3x-\frac23\int x\sin3xdx~~\color{red}\text{ (1 pt + 1 pt)}\)

2ème intégration par parties de \(J_1=\int x\sin3xdx\)

Posons

\(\begin{array}{ll}u=x&dv=\sin3xdx\\du=dx&v=-\frac13\cos3x\end{array}\)

d'où

\(J_1=-\frac x3\cos 3x+\frac13\int\cos 3xdx\)

\(=-\frac x3\cos3x+\frac19\sin3x+C~~\color{red}\text{ (1 pt + 1 pt)}\)

ce qui donne

\(I_1=\frac13x^2\sin3x-\frac23(-\frac x3\cos3x+\frac19\sin3x)+C\)

\(\color{blue}I_1=\frac13x^2\sin3x+\frac{2x}9\cos3x-\frac2{27}\sin3x+C~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)