Question 3

Durée : 25 mn

Note maximale : 10

Question

On pose \(I_n=\int_0^1x^ne^xdx\) \((n\) entier \(> 0)\)

  1. Calculer \(I_1.\)

  2. Démontrer que \(I_{n+1} = e - (n+1) I_n .\)

  3. En déduire les intégrales \(I_2\) et \(I_3.\)

  4. Appliquer ces résultats au calcul de l'intégrale : \(I=\int_0^1(x^3+2x^2-2x)e^xdx\)

Solution

  1. Calcul de \(I_1\)

    \(I_1=\int_0^1xe^xdx\)

    intégrons par parties en posant

    \(\begin{array}{ll}u = x&dv=e^xdx\\du=dx&v=e^x\end{array}\)

    d'où

    \(\color{blue}I_1\color{black}=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx=[(x-1)e^x]_0^1=\color{blue}+1~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

  2. Démontrer que \(I_{n+1} = e - (n+1) I_n\)

    \(I_{n+1}=\int_0^1x^{n+1}e^xdx\)

    intégrons par parties en posant

    \(\begin{array}{ll}u=x^{n+1}&dv=e^xdx\\du=(n+1)x^ndx&v=e^x\end{array}\)

    d'où

    \(I_{n+1}=[x^{n+1}e^x]_0^1-(n+1)\int_0^1x^ne^xdx\)

    \(\color{blue}I_{n+1}=e-(n+1)I_n~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

  3. En déduire les intégrales \(I_2\) et \(I_3\)

    pour \(n = 1,~ I_2 = e - 2 I_1 = \color{blue}e - 2 ~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

    pour \(n = 2, ~I_3 = e - 3 I_2 = e - 3(e - 2) = \color{blue}6 - 2e ~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

  4. Application au calcul d'une intégrale

    \(I=\int_0^1(x^3+2x^2-2x)e^xdx\)

    \(=\int_0^1x^3e^xdx+2\int_0^1x^2e^xdx-2\int_0^1xe^xdx\)

    \(I = I_3 + 2 I_2 - 2 I_1 = (6 - 2e) + 2 (e - 2) -2\)

    \(\color{blue}I = 0 ~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)