L'intégrale simple

La décomposition de \(f(x) = P(x) / Q(x)\) en éléments simples sur \(\mathbb R\) n'a pas de partie entière \(E(x)\) car le degré de \(P(x)\) est inférieur au degré de \(Q(x)\) d'où :

\(\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}~~\color{red}\text{ (1 pt)}\)

La réduction au même dénominateur conduit à :

\(\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-2)+C(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+1)^2}\)

\(=\frac{(A+C)x^2+(2A+B-C)x+A-2B-2C}{(x-2)(x+1)^2}\)

Par identification :

\(\begin{cases}A+C=0\\2A+B-C=2\\A-2B-2C=1\end{cases}\color{blue}A=-C=\frac59\color{black}\text{ et }\color{blue}B=\frac13\)

Remarque : Les coefficients \(A,\) \(B\) et \(C\) peuvent être également déterminés par

\(\color{blue}A\color{black}=\lim_{x\rightarrow2}(x-2)f(x)=\lim_{x\rightarrow2}\frac{2x+1}{(x+1)^2}=\color{blue}\frac59\)

\(\color{blue}B\color{black}=\lim_{x\rightarrow-1}(x+1)^2f(x)=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{2x+1}{(x-2)}=\color{blue}\frac13\)

\(C\) est obtenu en donnant par exemple, la valeur \(x = 0\) : \(\frac1{-2}=\frac5{9(-2)}+\frac13+C\Rightarrow\color{blue}C=-\frac59\)

d'où pour le calcul de \(I_1\) :

\(I_1=\int(\frac59\frac1{x-2}+\frac13\frac1{(x+1)^2}-\frac59\frac1{x+1})dx~~\color{red}\text{ (1 pt)}\)

\(I_1=\frac59\ln|x-2|-\frac13\frac1{x+1}-\frac59\ln|x+1|+C\)

\(\color{blue}I_1=\frac59\ln|\frac{x-2}{x-1}|-\frac13\frac1{x+1}~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)