L'intégrale simple

La fraction rationnelle $f(x) = P(x) / Q(x)$ possède une partie entière $E(x)$ car le degré de $P(x)$ est supérieur au degré de $Q(x).$

La division euclidienne de $P(x) = x^4 + x^2 - 2x + 3$ par $Q(x) = x (x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$ conduit à :

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=E(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}=x+3+\frac{8x^2-8x+3}{x(x-1)(x-2)}$

$(\color{red}\text{1 pt}$ pour $E(x)$ et $\color{red}\text{1 pt}$ pour la fraction irréductible)

En appelant $f_1(x)$ la fraction irréductible obtenue, décomposons dans $\mathbb R,$ cette fraction rationnelle :

$f_1(x)=\frac{8x^2-8x+3}{x(x-1)(x-2)}=\frac Ax+\frac B{x-1}+\frac C{x-2}$

$=\frac{A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}$

$=\frac{(A+B+C)x^2-(3A+2B+C)x - 2A}{x(x-1)(x-2)}$

Par identification :

$\begin{cases}A+B+C=8\\3A+2B+C=8\\2A=3\end{cases}\color{blue}A=\frac32~~B=-3~~C=\frac{19}2$

Remarque : Les coefficients $A,$ $B$ et $C$ peuvent être également déterminés par

$\color{blue}A\color{black}=\lim_{x\rightarrow0}xf_1(x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{8x^2-8x+3}{(x-1)(x-2)}=\color{blue}\frac32$

$\color{blue}B\color{black}=\lim_{x\rightarrow1}(x-1)f_1(x)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{8x^2-8x+3}{x(x-2)}=\color{blue}-3$

$\color{blue}C\color{black}=\lim_{x\rightarrow2}(x-2)f_1(x)=\lim_{x\rightarrow2}\frac{8x^2-8x+3}{x(x-1)}=\color{blue}\frac{19}2$

la fraction rationnelle $f(x)$ peut donc s'écrire :

$\color{blue}f(x)=x+3+\frac32\frac1x-\frac3{x-1}+\frac{19}2\frac1{x-2}~~\color{red}\text{ (2 pts)}$

donc

$\int f(x)dx=\int(x+3+\frac32\frac1x-\frac3{x-1}+\frac{19}2\frac1{x-2})dx$

$\color{blue}I_2=\frac{x^2}2+3x+\frac32\ln|x|-3\ln|x-1|+\frac{19}2\ln|x-2|+C~~\color{red}\text{ (2 pts)}$