L'intégrale simple

La fraction rationnelle \(f(x) = P(x) / Q(x)\) possède une partie entière \(E(x)\) car le degré de \(P(x)\) est supérieur au degré de \(Q(x).\)

La division euclidienne de \(P(x) = x^4 + x^2 - 2x + 3\) par \(Q(x) = x (x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x\) conduit à :

\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=E(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}=x+3+\frac{8x^2-8x+3}{x(x-1)(x-2)}\)

\((\color{red}\text{1 pt}\) pour \(E(x)\) et \(\color{red}\text{1 pt}\) pour la fraction irréductible)

En appelant \(f_1(x)\) la fraction irréductible obtenue, décomposons dans \(\mathbb R,\) cette fraction rationnelle :

\(f_1(x)=\frac{8x^2-8x+3}{x(x-1)(x-2)}=\frac Ax+\frac B{x-1}+\frac C{x-2}\)

\(=\frac{A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}\)

\(=\frac{(A+B+C)x^2-(3A+2B+C)x - 2A}{x(x-1)(x-2)}\)

Par identification :

\(\begin{cases}A+B+C=8\\3A+2B+C=8\\2A=3\end{cases}\color{blue}A=\frac32~~B=-3~~C=\frac{19}2\)

Remarque : Les coefficients \(A,\) \(B\) et \(C\) peuvent être également déterminés par

\(\color{blue}A\color{black}=\lim_{x\rightarrow0}xf_1(x)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{8x^2-8x+3}{(x-1)(x-2)}=\color{blue}\frac32\)

\(\color{blue}B\color{black}=\lim_{x\rightarrow1}(x-1)f_1(x)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{8x^2-8x+3}{x(x-2)}=\color{blue}-3\)

\(\color{blue}C\color{black}=\lim_{x\rightarrow2}(x-2)f_1(x)=\lim_{x\rightarrow2}\frac{8x^2-8x+3}{x(x-1)}=\color{blue}\frac{19}2\)

la fraction rationnelle \(f(x)\) peut donc s'écrire :

\(\color{blue}f(x)=x+3+\frac32\frac1x-\frac3{x-1}+\frac{19}2\frac1{x-2}~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

donc

\(\int f(x)dx=\int(x+3+\frac32\frac1x-\frac3{x-1}+\frac{19}2\frac1{x-2})dx\)

\(\color{blue}I_2=\frac{x^2}2+3x+\frac32\ln|x|-3\ln|x-1|+\frac{19}2\ln|x-2|+C~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)