L'intégrale simple

Les puissances des fonctions étant impaires nous avons le choix de changement de variable : \(u = \sin x\) ou \(\cos 2x.\)

Posons \(u = \cos x \Leftrightarrow du = - \sin x dx\)

\(I_1=\int\sin^2x\cos^5x\sin x dx=\int(1-\cos^2x)\cos^5x\sin xdx\)

\(I_1=\int(1-u^2)u^5(-du)=-\int(u^5-u^7)du=-\frac{u^6}6+\frac{u^8}8+C~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

\(\color{blue}I_1=-\frac{\cos^6x}6+\frac{\cos^8x}8+C~~\color{red}\text{ (3 pts)}\)