L'intégrale simple

En posant\( t = e^x \Leftrightarrow dt = e^x dx = t dx\)

ceci entraîne un changement des bornes d'intégration :

\(\begin{array}{ll}x_1 = 0& t_1 = e^0 = 1\\x_2 = 1& t_2 = e\end{array}\)

les fonctions \(\cosh x\) et \(\sinh x\) s'écrivent alors :

\(\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}2=\frac{t+t^{-1}}2\)

\(\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}2=\frac{t-t^{-1}}2\)

Le dénominateur devient :

\(5\cosh x+3\sinh x+4=5(\frac{t+t^{-1}}2)+3(\frac{t-t^{-1}}2)+4\)

\(=\frac52(\frac{t^2+1}t)+\frac32(\frac{t^2-1}t)+4\)

\(=\frac{4t^2+4t+1}t\)

d'où

\(I_4=\int_1^e\frac{dt}{4t^2+4t+1}=\int_1^e\frac{dt}{(2t+1)^2}~~\color{red}\text{ (2 pts)}\)

\(\color{blue}I_4\color{black}=-\frac12[\frac1{2t+1}]_1^e=\color{blue}\frac{e-1}{3(2e+1)}~~\#~~0,089~~\color{red}\text{ (3 pts)}\)