Question 1
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Une équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre constant peut se résoudre comme les équations à variables séparables.
Résoudre l'équation différentielle : \(2\frac{dy}{dx}+3y=1\) par séparation de variable.
Solution
Par séparation de variable nous obtenons:
\(2\frac{dy}{dx}=1-3y\Rightarrow \color{blue}\frac{dy}{1-3y}=\frac{dx}2~~\color{red}\text{(2 points)}\)
en intégrant il vient : \(\int\frac{dy}{1-3y}=\int\frac{dx}2\)
soit \(\color{blue}-\frac13\ln|1-3y|=\frac x2+C~~\color{red}\text{(2 points)}\)
d'où : \(\ln|1-3y|=-\frac{3x}2+C\) ou \(|1-3y|=e^{\frac{3x}2+C}\)
\(\Rightarrow \color{blue}(1-3y)=\pm e^{C}e^{\frac32x}~~\color{red}\text{(2 points)}\)
soit :
\(3y=1+Ke^{-\frac32x}\Rightarrow \color{blue}y=\frac13(1+Ke^{-\frac32x})\color{black},K\in\mathbb R~~\color{red}\text{(4 points)}\)