Équations différentielles du 1er ordre

L'équation différentielle homogène : \(xy' - y = x \tan(y/x)\) peut s'écrire pour \(x \neq 0\) et \((y/x) \neq \pi /2+k~~ (k \in\mathbb Z),\) sous la forme :

\(\color{blue}y' -(y / x) = \tan(y/x) ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

Pour résoudre cette équation, posons\( \color{blue}t = y / x ~~\color{red}\text{(2 points)}\) c.à.d \(y = tx\) d'où:

\(dy=tdx+xdt\\\Rightarrow y'=\frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}=t+\tan t\)

soit \(x\frac{dt}{dx}=\tan t\Rightarrow\frac{dt}{\tan t}=\frac{dx}x\Rightarrow \color{blue}\frac{\cos t}{\sin t}dt=\frac{dx}x~~\color{red}\text{(4 points)}\)

par intégration : \(\ln|x|=\ln|\sin t|+C\) avec \(C\in\mathbb R\Rightarrow\color{blue}x=K\sin t\) avec \(K\in\mathbb R^*~~\color{red}\text{(2 points)}\) et la solution générale de cette équation homogène sous forme paramétrique est de la forme :

\(x = K \sin t\) et \(y = Kt \sin t\)

ou

\(\color{blue}y=x\arcsin(\frac xK)~~\color{red}\text{(2 points)}\)