Question 1

Durée : 5 mn

Note maximale : 6

Question

Soit la réaction chimique : \(A + B \rightarrow C .\)

A l'instant \(t = 0,\) nous avons \(a\) moles du corps \(A\) et \(b\) moles du corps \(B.\) En posant \(x(t)\) le nombre de moles de \(C\) présentes à l'instant \(t,\) on suppose que la vitesse d'apparition de \(C\) suit la loi \(\frac{dx}{dt}=k(a-x)(b-x)\)où \(k\) est une constante positive.

Déterminer \(x(t)\) et \(x(\infty )\)dans le cas où \(a = b.\)

Solution

Cas : \(a = b\)

La loi devient

\(\frac{dx}{dt}=k(a-x)^2\Rightarrow\color{blue}\frac{dx}{(a-x)^2}=kdt ~~\color{red}\text{(1 point)}\)

qui par intégration :

\(\color{blue}\frac1{a-x}=kt+C~~\color{red}\text{(1 point)}\)

et comme \(x(0) = 0 ⇒ C = 1/a\)

d'où : \(\color{blue}x(t)=\frac{a^2kt}{1+akt}~~\color{red}\text{(2 points)}\)

et \(\color{blue}x(\infty ) = a~~\color{red}\text{(2 points)}\)