Question 3
Durée : 5 mn
Note maximale : 6
Question
A partir de la solution de \((2),\) retrouver la solution particulière de \((1).\)
Solution
Posons \(a - b = \varepsilon\) (avec \(\varepsilon \rightarrow 0\) quand \(b \rightarrow a)\) d'où :
\(b = a - \varepsilon\) et calculons \(x(t) = N/D\)
or \(e^{-k\varepsilon t} \# 1 - k\varepsilon t\)
d'où \(N \# a^2 [1-(1 - k\varepsilon t)] = a^2 k\varepsilon t\)
et
\(D \# a - (a - \varepsilon)(1 - k\varepsilon t)\)
\(= a - (a - ak\varepsilon t - \varepsilon)\)
\(= \varepsilon + ak\varepsilon t\)
donc
\(\color{blue}x(t)\color{black}=\frac{a^2k\varepsilon T}{(\varepsilon+ak\varepsilon t)}=\color{blue}\frac{a^2kt}{(1+akt)}~~\color{red}\text{(6 points)}\)