Équations différentielles du 1er ordre

Cette équation différentielle linéaire a pour solution :

\(\theta = \theta_ H + \theta_p\) avec \(\theta_ H\) solution de l'équation homogène :

\(mc\dot{\theta}_H+(\lambda+aR_0i^2)\theta_H=0\)

qui admet pour solution générale :

\(\color{blue}\theta_H=K\exp(-\frac{\lambda+aR_0i^2}{mc}t)~~\color{red}\text{(2 points)}\)

La solution particulière \(\theta_p\) est une constante et vaut :

\(\color{blue}\theta_p=\frac{R_0i^2}{\lambda+aR_0i^2}~~\color{red}\text{(2 points)}\)

D'où la solution générale :

\(\color{blue}\theta=K\exp(-\frac{\lambda+aR_0i^2}{mc}t)+\frac{R_0i^2}{\lambda+aR_0i^2}~~\color{red}\text{(2 points)}\)

Sachant qu'à \(t = 0 ,\) \(\theta = 0°C\) on obtient la solution générale :

\(\color{blue}\theta=\theta_p(1-\exp(-\frac{\lambda+aR_0i^2}{mc}t))~~\color{red}\text{(2 points)}\)

d'où quand \(t \rightarrow\infty\)

\(\color{blue}\theta\rightarrow\theta_p=\frac{R_0i^2}{\lambda+aR_0i^2}~~\color{red}\text{(2 points)}\)