Question 1
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère, pour \(x~^{1}~k~\frac{\pi}{2}\qquad k \in \mathbb{Z}\) l'équation différentielle : \(\frac{\textrm{d}^{2}y}{\textrm{d}x^{2}} + \frac{2}{\sin{(2x)}} \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} + 3 \textrm{co} \textrm{tan}^{2} xy = 0 \qquad (1)\)
En effectuant dans l'équation \((1)\), le changement de variable \(t = sin{(x)}\), montrer que la fonction \(\textrm{Y}(t) = \textrm{Y}(\sin{(x)}) = y(x)\) vérifie l'équation d'Euler : \(t^{2} \frac{\textrm{d}^{2} \textrm{Y}}{\textrm{d} t^{2}} + t \frac{\textrm{d} \textrm{Y}}{\textrm{d}t} + 3 \textrm{Y} = 0 \qquad (2)\)
Solution
Posons \(t = sin{(x)}\), ce qui entraîne : \(\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = \left( \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} \right) \left( \frac{\textrm{d}t}{\textrm{d}x} \right) = \cos{(x)} \left( \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} \right)\qquad\color{red}(2~\textrm{points})\)
puis
\(\begin{array}{r c l} \frac{\textrm{d}^{2}y}{\textrm{d}x^{2}} & = & - \sin{(x)} \left( \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} \right) + \left( \cos{(x)} \frac{\textrm{d}~\left( \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} \right)}{\textrm{d}t} \right)~\textrm{x}~\frac{\textrm{d}t}{\textrm{d}x} \\ & = & - \sin{(x)} \left( \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} \right) + \cos{^{2}(x)}~\left( \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{Y}}{\textrm{d}t^{2}} \right) \end{array}\qquad\color{red}(3~\textrm{points})\)
l'équation \((1)\) devient :
\(- \sin{(x)}~\frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} + \cos^{2}{(x)}~\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{Y}}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{2 \cos{(x)}}{2 \sin{(x)}~\cos{(x)}} \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} + 3 \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} \textrm{Y} = 0\)
d'où :
\(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{Y}}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{1}{\sin{(x)}} \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} + \frac{1}{\sin^{2}{(x)}} 3 \textrm{Y} = 0 \qquad \color{red}(3~\textrm{points})\),
soit \(\color{blue} t^{2}~\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{Y}}{\textrm{d}t^{2}} + t \frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} + 3\textrm{Y} = 0 \color{black}\quad (2)\) Équation d'Euler \(\color{red}(2~\textrm{points})\)