Équations différentielles du 2ème ordre

Résolvons l'équation d'Euler en posant : \(t= \epsilon e^{u}\) avec \(\begin{array}{r c l}\epsilon & = & 1~\textrm{si}~t > 0 \\ \epsilon & = & - 1~\textrm{si}~t < 0 \end{array}\)

La fonction \(\textrm{Y}(t)\) devient \(\textrm{Y} (\epsilon~e^{u}) = z (u)\) et les dérivées sont :

\(\frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} = \frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}u} \frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}t} = \epsilon~e^{u}~\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}u} \quad \color{red}(2~\textrm{points})\)

\(\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{Y}}{\textrm{d}t^{2}} = -e^{-2u}~\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}u} + e^{-2u}~\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}u^{2}} \quad \color{red}(2~\textrm{points})\)

alors \(t^{2}~\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{Y}}{\textrm{d}t^{2}} + t~\frac{\textrm{dY}}{\textrm{d}t} + 3 \textrm{Y} = 0 \quad (2)\) devient \(- \frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}u} + \frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}u^{2}} + \epsilon^{2}~\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}u} + 3z = 0\),

soit \(\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}u^{2}} + 3z = 0 \Rightarrow \color{blue} z(u) = \textrm{A} \cos \Big( \sqrt{3} u \Big) + \textrm{B} \sin \Big( \sqrt{3} u \Big) \quad \color{red} (2~\textrm{points} + 1~\textrm{point})\).

Or, \(u = \ln{|t|}\), d'où \(\color{blue} \textrm{Y}(t) = \textrm{A} \cos \Big( \sqrt{3} \ln{|t|}\Big) + \textrm{B} \sin{\Big( \sqrt{3} \ln{|t|} \Big)}\quad \color{red}(1~\textrm{point})\)

et enfin, comme \(t = \sin{(x)}\),

\(u = \ln{|t|}\), d'où \(\color{blue} y(x) = \textrm{A} \cos \Big( \sqrt{3} \ln{|\sin{(x)}|}\Big) + \textrm{B} \sin{\Big( \sqrt{3} \ln{|\sin{(x)}|} \Big)}\quad \color{red}(2~\textrm{points})\)