Question 1

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soit \(n\) un entier positif ou nul.

On considère l'équation suivante : \(x^{2} y" + x y' - 4y = x^{n} \quad \color{blue}(\textrm{E})\)

Trouver des solutions de l'équation homogène associée de la forme \(y_{H}(x) = x^{p}\) où \(p\) est un entier.

Solution

Si \(y_{H}(x) = x^{p}\), alors \(y'_{H}(x) = p x^{(p - 1)}\quad\color{red}(1~\textrm{point})\) et \(y''_{H}(x) = p(p - 1) x^{(p - 2)}\quad\color{red}(1~\textrm{point})\) en portant dans l'équation \(\color{blue}(\textrm{E})\) : \(x^{2} p(p-1) x^{(p-2)} + xp x^{(p-1)} - 4 x^{p} = (p^{2} - 4) x^{p} = 0 \quad \color{red} (2~\textrm{points})\),

d'où \(\color{blue}p = \pm 2 \color{red} \quad (2~\textrm{points})\) vérifie cette relation et la solution de l'équation homogène est :

\(\color{blue} y_{H}(x) = \textrm{A} x^{2} + \frac{\textrm{B}}{x^{2}}~~\color{black} (\textrm{A}, \textrm{B} \in \mathbb{R}^{2} ) \quad\color{red}(4~\textrm{points})\)