Équations différentielles du 2ème ordre

Cherchons pour solution particulière : \(y_{p} = x^{2} z\) alors \(y'_{p} = 2x z + x^{2} z'\) et \(y"_{p} = 2 z + 4x z' + x^{2} z"\)

En portant dans \(\color{blue}(\textrm{E})\) : \(x^{4} z" + 5 x^{3} z' = x^{n} \Rightarrow x^{4} \textrm{U'} + 5 x^{3} \textrm{U} = x^{n}\quad \color{blue} (E1)\quad \color{red} (1~\textrm{point})\) avec \(z' = \textrm{U}\)

L'équation homogène associée à \(\color{blue} (E1)\) est : \(x^{4} \textrm{U'} + 5 x^{3} \textrm{U} = 0\).

Elle a pour solution générale \(\color{blue} \textrm{U} = \frac{\textrm{C}}{x^{5}}\quad\color{red}(1~\textrm{point})\)

La méthode de variation de la constante donne : \(\frac{x^{4} \textrm{C'}}{x^{5}} = x^{n} \Rightarrow \textrm{C'} = x^{n + 1} \Rightarrow \textrm{C} = \frac{x^{n + 2}}{(n + 2)}\quad\color{red}(1~\textrm{point})\)

d'où \(\textrm{U} = \frac{\textrm{C}}{x^{5}} = \frac{x^{(n - 3)}}{n + 2} = z' \quad \color{red} (1 \textrm{point})\)

• 1er cas : \(\color{blue} n~^{1}~2\), nous obtenons

  \(z(x) = \frac{x^{n-2}}{(n-2)(n+2)} = \color{blue} \frac{x^{n-2}}{n^{2} - 4} \quad \color{red} (2~\textrm{points})\)

  puis

  \(y(x) = x^{2}z = \frac{x^{n}}{n^{2} -4}\)

  La solution générale de \(\color{blue}(\textrm{E})\) sera : \(\color{blue} y(x) = \textrm{A} x^{2} + \frac{\textrm{B}}{x^{2}} + \frac{x^{n}}{n^{2} - 4}\quad \color{red}(1~\textrm{point})\)

• 2ème cas : \(\color{blue} n = 2\), alors \(z' = \frac{1}{4x}\) puis \(z(x) = \frac{\ln{|x|}}{4}\quad\color{red}(2~\textrm{points})\)

  d'où \(y(x) = x^{2} z = \frac{x^{2}}{4} \ln{|x|}\)

  et la solution générale de \(\color{blue}(\textrm{E})\) est :

  \(\color{blue} y(x) = \textrm{A}x^{2} + \frac{\textrm{B}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{4} \ln{|x|}\quad \color{red}(1~\textrm{point})\)