Définitions
Soit la matrice carrée \(A = (a_{ij}) \quad 1 \leq i, j \leq n ~~ \in M_{n} (\mathbb{K})\).
\(A = \begin{pmatrix} a_{11}& \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots& \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nj} & \ldots& a_{nn} \end{pmatrix}\)
On appelle déterminant de la matrice \(A\), d'ordre \(n\), le tableau carré contenant les éléments de la matrice limité par deux traits verticaux.
Notation : \(\color{red} |A|\) ou \(\color{red} \det {A} \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11}& \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots& \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nj} & \ldots& a_{nn} \end{matrix} \right|\)
Exemple
\(n = 2 \quad \color{red} |A_{2}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|\)
\(n = 3 \quad \color{red}|A_{3}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|\)
On appelle mineur \(|M_{ij}|\) de l'élément \(a_{ij}\) du déterminant d'ordre \(n\), le déterminant d'ordre \((n-1)\) obtenu en supprimant la ième ligne et la jème colonne de \(|A|\).
Exemple
\(n = 2 \quad \color{red} |A_{2}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|\)
\(\color{red} |M_{11}| \color{black} = \color{red} a_{22} \color{black} , \color{red} |M_{12}| \color{black} = \color{red} a_{21} \color{black},...\)
\(n = 3 \quad \color{red}|A_{3}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|\)
\(\color{red} |M_{12}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| = \color{red} a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}\)
\(\color{red} |M_{21}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| = \color{red} a_{12} a_{33} - a_{13} a_{32}\)
On appelle cofacteur \(\Delta_{ij}\) de l'élément \(a_{ij}\), le mineur \(|M_{ij}|\) affecté du signe \(+\) ou \(-\) suivant la relation : \(\color{blue} \Delta_{ij} = (-1)^{i + j} |M_{ij}|\)
Exemple
\(n = 2 \quad \color{red} |A_{2}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|\)
\(\color{red}\Delta_{11} \color{black}= (-1)^{1+1}~|M_{11}| =\color{red} + a_{22}\)
\(n = 3 \quad \color{red}|A_{3}| \color{black} = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right|\)
\(\color{red}\Delta_{12} \color{black}= (-1)^{1+2}~|M_{12}| =\color{red} - (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31})\)