Calcul matriciel

Si tous les éléments d'une ligne (ou colonne) d'un déterminant \(|A|\) sont nuls alors \(\color{red}|A| = 0\color{black}\).

Si deux lignes (ou deux colonnes) d'un déterminant \(|A|\) sont proportionnelles (ou identiques) alors \(\color{red}|A| = 0\color{black}\).

Exemple

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & 2 \\ 4 & 6 & 8 \\ -3 & 1 & -6 \end{matrix} \right| = 0\) (la 3ème colonne est proportionnelle à la 1ère)

\(\begin{array}{r c l} |A| & = & \Big[ (1)(6)(-6) + (9)(8)(-3) + (4)(1)(2) - (2)(6)(-3) - (1)(8)(1) - (4)(9)(-6) \Big] \\ & = & [ -36 - 216 + 8 +36 - 8 +216 ] \\ & = & 0 \end{array}\)

Si l'on permute les lignes et les colonnes d'un déterminant, la valeur reste inchangée : \(\color{red} \left|~^{t} A\right|= |A|\).

Exemple

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5 \end{matrix} \right|\)

d'où

\(|~^{t}A| = \left| \begin{matrix} 1 & 4 & -3 \\ 9 & 6 & 1 \\ -3 & -2 & 5 \end{matrix} \right|\) déterminant de la matrice transposée de \(A\).

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}|A| & \color{black}= & [(1)(6)(5) + (9)(-2)(-3) + (4)(1)(-3) - \\ & & (-3)(6)(-3) - (4)(9)(5) - (1)(-2)(1)] \\ & = & [30 + 54 -12 -54 -180 + 2] \\ & = & \color{blue}-160 \end{array}\)

et

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}|~^{t} A| & \color{black}= & [(1)(6)(5) + (4)(1)(-3) + (9)(-2)(-3) - \\ & & (-3)(6)(-3) - (9)(4)(5) - (1)(-2)(1)] \\ & = & [30 -12 +54 -54 -180 + 2] \\ & = & \color{blue}-160 \end{array}\)

Ainsi, \(\color{red} |A| = |~^{t}A|\).

Si l'on permute deux lignes (ou deux colonnes) d'un déterminant, le signe du déterminant est changé.

Exemple

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5 \end{matrix} \right|\)

\(|B| = \left| \begin{matrix} 9 & 1 & -3 \\ 6 & 4 & -2 \\ 1 & -3 & 5 \end{matrix} \right|\) (permutation des colonnes 1 et 2)

\(|C| = \left| \begin{matrix} -3 & 1 & 5 \\ 4 & 6 & -2 \\ 1 & 9 & -3 \end{matrix} \right|\) (permutation des lignes 1 et 3)

\(\color{blue}|A| = -160\) (calcul de la propriété 3)

\(\begin{array}{r c l} |B| & = & [ (9)(4)(5) + (1)(-2)(1) + (6)(-3)(-3) - \\ & & (1)(4)(-3) - (6)(1)(5) - (9)(-3)(-2)] \end{array}\)

Donc, \(|B| = [180 -2 + 54 + 12 -30 -54] = \color{blue} 160\)

Ainsi, \(\color{red} |B| = - |A|\).

Aussi, \(\begin{array}{r c l} \textcolor{blue}{|C|} & = & [(-3)(6)(-3) + (1)(-2)(1) + (4)(9)(5) - \\ & & (1)(6)(5) - (9)(-2)(-3) - (4)(1)(-3)] \\ & = & [54 - 2 +180 -30 -54 +12] \\ & = & \color{blue}160 \end{array}\);

donc, \(\color{red} |C| = - |A|\).

Si chaque élément d'une ligne (ou colonne) est multiplié par un scalaire \(k\), le déterminant est multiplié par \(k\).

Exemple

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5 \end{matrix} \right|\)

\(|B| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & 9 \\ 4 & 6 & 6 \\ -3 & 1 & -15 \end{matrix} \right|\) (la 3ème colonne est multipliée par (- 3) )

\(|C| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -3 \\ 8 & 12 & -4 \\ -3 & 1 & 5 \end{matrix} \right|\) la 2ème ligne est multipliée par (2))

\(\color{blue}|A| = -160\) (calcul de la propriété 3)

\(\begin{array}{r c l} |D| & = & [ (1)(6)(-15) + (9)(6)(-3) + (4)(1)(9) - \\ &&(9)(6)(-3) - (4)(9)(-15) - (1)(1)(6)] \end{array}\)

Donc, \(|D| = [-90 -162 + 36 + 162 +540 -6] = \color{blue} 480\)

Ainsi, \(\color{red} |D| = -3 |A|\).

Aussi, \(\begin{array}{r c l} \textcolor{blue}{|E|} & = & [(1)(12)(5) + (9)(-4)(-3) + (8)(1)(-3) - (-3)(12)(-3) - \\ & & (8)(9)(5) - (-1)(-4)(1)] \\ & = & [60 + 108 - 24 - 108 - 360 + 4] \\ & = & \color{blue}320 \end{array}\);

donc, \(\color{red} |E| = 2 |A|\).

Si chaque élément d'une ligne (ou colonne) d'un déterminant peut se représenter par la somme de deux ou plusieurs nombres, le déterminant peut s'exprimer en fonction de la somme de deux ou plusieurs déterminants.

Exemple

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -5 + 2 \\ 4 & 6 & -2 + 0 \\ -3 & 1 & 8-3 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -5 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 8 \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} 1 & 9 & 2 \\ 4 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & -3\end{matrix} \right|\)

\(\begin{array}{r c l}\color{blue}|F| & = & \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -5 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 8 \end{matrix} \right| \\ \\ &= & [(1)(6)(8) + (9)(-2)(-3) + (4)(1)(-5) - \\ & & (-3)(6)(-5) - (4)(9)(8) - (1)(-2)(1)] \\ \\ & = & [48 + 54 -20 -90 -288 +2] \\ \\ & = & \color{blue} -294 \end{array}\)

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}|G| & = & \left| \begin{matrix} 1 & 9 & 2 \\ 4 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & -3 \end{matrix} \right| \\ & = & [(1)(6)(-3) + (9)(0)(-3) + (4)(1)(2) - \\ & & (2)(6)(-3) - (1)(0)(1) - (4)(9)(-3) \\ & = & [-18 + 8 +36 +108] \\ & = & \color{blue}+134 \end{array}\)

Sachant que \(\color{blue}|A| = -160\), nous avons bien : \(\color{red}|A| = |F| + |G| = -160\).

Si aux éléments d'une ligne (ou colonne) on ajoute \(k\) fois les éléments correspondants d'une autre ligne (ou colonne), la valeur du déterminant reste inchangée.

(Cette propriété est utilisée pour faire apparaître des zéros sur une ligne (ou colonne))

Exemple

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 9 + 3(-3) & -3 \\ 4 & 6+3(-2) & -2 \\ -3 & 1 + 3(5) & 5 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 1 & 0 & -3 \\ 4 & 0 & -2 \\ -3 & 16 & 5 \end{matrix} \right|\)

\(\begin{array}{r l c} \textcolor{blue}{|A|} & = & -16 \left| \begin{matrix} 1 & -3 \\ 4 & -2 \end{matrix}\right| \\ \\ & = & -16(-2 + 12) \\ \\ & = & \color{blue}-160 \end{array}\)

On a ajouté à la 2ème colonne, 3 fois la 3ème colonne pour faire apparaître deux zéros.

Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées d'ordre \(n\), alors :

\(|AB| = |A| |B| = |B| |A|\)

Cas particuliers : \(B = A^{-1}\)

\(\begin{array}{r c l} \left| AB \right| = \left| AA^{-1} \right| = \left| I \right| & \Leftrightarrow & \left| A \right| \left| A^{-1} \right| = 1 \\ & \Leftrightarrow & \color{red} \left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A \right|} \end{array}\)

Exemple

Soient les matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -1 & 5 & 0 \\ 2 & 6 & 7 \end{pmatrix}\)

Calculons le produit : \(AB\)

\(AB = \begin{pmatrix} 1 & 9 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \\ -3 & 1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -1 & 5 & 0 \\ 2 & 6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & 23 & -19 \\ 2 & 2 & -6 \\ 0 & 47 & 29 \end{pmatrix}\)

D'où

\(\begin{array}{r c l} \textcolor{blue}{|AB|} & = & \left| \begin{matrix} -12 & 23 & -19 \\ 2 & 2 & -6 \\ 0 & 47 & 29 \end{matrix} \right| \\ \\ & = & [(-12)(2)(29) + (23)(-6)(0) + (2)(47)(-19) - \\ & & (0)(2)(-19) - (2)(23)(29) - (-6)(47)(-12)] \\ \\ &= & [-696 - 1786 + 1334 + 3384] \\ \\ &= & \color{blue}-7200\end{array}\)

Or, \(\color{blue} |A| = -160\) et \(|B| = \left| \begin{matrix} 3 & -4 & 2 \\ -1 & 5 & 0 \\ 2 & 6 & 7 \end{matrix} \right|\);

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}|B| & = & [(3)(5)(7) + (-4)(0)(2) + (-1)(6)(2) - \\ & & (2)(5)(2) - (-1)(-4)(7) - (6)(0)(3)] \\ & = & [105 - 12 -20 -28] \\ & = & \color{blue}45 \end{array}\).

D'où \(\textcolor{red}{|AB|} = |A| |B| = (-160)(45) = \color{red}-7200\)