Systèmes d'équations linéaires

Définition

On appelle système de \(n\) équations linéaires à \(p\) inconnues \((x_{1},x_{2},...,x_{p})\) le système :

\((S) \left\{ \begin{array}{l c l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1p}x_{p} & = & b_{1} \quad (\textrm{L}_{1}) \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2p}x_{p} & = & b_{2} \quad (\textrm{L}_{2}) \\ \ldots & & \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{np}x_{p} & = & b_{n} \quad (\textrm{L}_{n}) \end{array} \right.\)

Ecriture matricielle

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & \ldots & a_{2p} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & \ldots & a_{np} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ \ldots \\ x_{p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ \ldots \\ b_{n} \end{pmatrix} \Leftrightarrow \color{red} A_{np} X_{p} = B_{n}\)

avec \(X_{p}\) et \(B_{n}\) deux matrices colonnes et \(A\) appelée matrice de transformation à \(n\) lignes et \(p\) colonnes.

Les coefficients \(a_{ij} \in \mathbb{K}\) (\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) avec \(1 \leq i \leq n\) et \(1 \leq j \leq p\).

Les \(bj \in \mathbb{K}\) avec \(1 \leq i \leq n\) constituent le second membre de \((S)\).

Le système est dit homogène si \(bi = 0\) et non homogène si \(bi ^{1} 0\).

Les lignes sont numérotées par (\(\textrm{Li}\)).

Définition

On appelle opérations élémentaires sur les lignes d'un système d'équations linéaires, les opérations suivantes :

  • Multiplication par un scalaire \(k \in \mathbb{K}^{*} : (\textrm{Li}) \leftarrow k (\textrm{Li})\)

  • Permutation de deux lignes : \((Li) \ll (Lj)\)

  • Addition à une ligne, d'un multiple d'une autre ligne : \((\textrm{Li}) \leftarrow (\textrm{Li}) + \lambda (\textrm{Lj})\qquad\lambda \in \mathbb{K}^{*}\)

Propriété : Toute opération élémentaire sur les lignes d'un système d'équations linéaires transforme ce dernier en un système équivalent ayant le même ensemble de solutions.

Définition

On appelle système de Cramer un système de \(n\) équations à \(n\) inconnues avec \(|A| ^{1} 0\) (déterminant de la matrice carrée de transformation).

\((S) \left\{ \begin{array}{l c l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1p}x_{p} & = & b_{1} \quad (\textrm{L}_{1}) \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2p}x_{p} & = & b_{2} \quad (\textrm{L}_{2}) \\ \ldots & & \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{np}x_{p} & = & b_{n} \quad (\textrm{L}_{n}) \end{array} \right.\)

Ecriture matricielle

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ \ldots \\ x_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ \ldots \\ b_{n} \end{pmatrix} \Leftrightarrow \color{red} A_{nn} X_{n} = B_{n}\)

avec \(X_{n}\) et \(B_{n}\) les matrices colonnes et \(A\) la matrice carrée de transformation

MéthodeMéthodes de résolution

Les systèmes linéaires rencontrés en Sciences Physiques étant pour la plupart de Cramer, nous présentons trois méthodes de résolution pour ces systèmes.

Système non homogène : \(A_{nn} X_{n} = B_{n}\)

1ère méthode : Règle de Cramer

Un système de Cramer admet une solution unique donnée par :

\(x_{i} = \frac{|A_{i}|}{|A|} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & \textcolor{blue}{b_{1}} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & \textcolor{blue}{b_{2}} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & \textcolor{blue}{b_{n}} & \ldots & a_{nn} \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{ni} & \ldots & a_{nn} \end{matrix} \right|}\), pour \(1 \leq i \leq n\) et \(|A| \neq 0\).

\(|A_{i}|\) étant le déterminant de la matrice \(A_{i}\) obtenu en remplaçant la ième colonne de \(A\) par la colonne des constantes \(b\).

Démonstration

Soit le système d'équations à 3 inconnues :

\(\left\{ \begin{array}{r c l l l}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} & = & b_{1} & & \\a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} & = & b_{2} & \Leftrightarrow & A_{33}X_{3} = B_{3}\\a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} & = & b_{3} & & \\\end{array}\right.\)

Déterminant de ce système :

\(\begin{array}{l r c l} & |A| & = & \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| \\ \\ \underset{(1)}{\Longrightarrow} & x_{1} |A| & = & \left| \begin{matrix} a_{11}x_{1} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}x_{1} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}x_{1} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| \\ \\ \underset{(2)}{\Longrightarrow} & x_{1} |A| & = & \left| \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| \\ \\ & & = & \left| \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| \end{array}\)

\((1) \Rightarrow\) Référence 1[1]

\((2) \Rightarrow\) Référence 2[2]

d'où

\(x_{1} = \frac{\left| \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|}{|A|} \)

\(x_{2} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{11} & b_{1} & a_{13} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|}{|A|}\)

\(x_{3} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \\ \end{matrix} \right|}{|A|}\)

Exemple

Résolution du système :

\(\left\{ \begin{array}{r c l} x + 3y + 4z & = & 50 \\ 3x + 5y - 4z & = & 2 \\ 4x + 7y - 2z & = & 31 \end{array}\right.\)

La matrice \(A\) du système est : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & -4 \\ 4 & 7 & -2 \end{pmatrix}\),

d'où \(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 5 &-4 \\ 4 & 7 & -2 \end{matrix} \right| = -8\) (Règle de Sarrus)

Le système est de Cramer et admet une solution unique :

\(\textcolor{red}{x_{1}} = \frac{\left| \begin{matrix} \color{blue}50 & 3 & 4 \\ \color{blue}2 & 5 & -4 \\ \color{blue}31 & 7 & -2 \end{matrix} \right|}{-8} = \frac{-24}{-8}= \color{red} 3 \)

\(\textcolor{red}{x_{2}} = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & \color{blue} 50 & 4 \\ 3 & \color{blue}2 & -4 \\ 4 & \color{blue}31 & -2 \end{matrix} \right|}{-8} = \frac{-40}{-8}= \color{red} 5\)

\(\textcolor{red}{x_{3}} = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 3 & \color{blue}50 \\ \color{blue}3 & 5 & \color{blue}2 \\ 4 & 7 & \color{blue}31 \end{matrix} \right|}{-8} = \frac{-64}{-8}= \color{red} 8\)

2ème méthode : Inversion matricielle

Pour \(|A|~^{1}~0\), la matrice carrée \(A\) admet une matrice inverse \(A^{-1}\).

Le système sous la forme matricielle \(AX=B\) peut être pré-multiplié par \(A^{-1}\) afin d'obtenir la solution : \(AX = B \Rightarrow A^{-1} A X = A^{-1} B \Rightarrow \color{red} X = A^{-1}B\)

La détermination de \(X\) passe par le calcul de \(A^{-1} = \frac{~^{t} \textrm{com}(A)}{|A|}\)

Exemple

Résolution du système :

\(\left\{ \begin{array}{r c l} x + 3y + 4z & = & 50 \\ 3x + 5y - 4z & = & 2 \\ 4x + 7y - 2z & = & 31 \end{array}\right.\)

La matrice \(A\) du système étant \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & -4 \\ 4 & 7 & -2 \end{pmatrix}\),

calculons \(A^{-1}\) par la formule \(A^{-1} = \frac{~^{t} \textrm{com}(A)}{|A|}\), sachant que \(|A| = -8\) et

\(\textrm{com}(A) = \begin{pmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \Delta_{13} \\ \Delta_{21} & \Delta_{22} & \Delta_{23} \\ \Delta_{31} & \Delta_{32} & \Delta_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -10 & 1 \\ 34 & -18 & 5 \\ -32 & 16 & -4 \end{pmatrix}\)\(\Delta_{ij} = (-1)^{i + j} |M_{ij}|\)

\(A^{-1} = \frac{~^{t} \textrm{com}(A)}{|A|} = \frac{\begin{pmatrix} 18 & 34 & -32 \\ -10 & -18 & 16 \\ 1 & 5 & -4 \end{pmatrix}}{-8}\)

\(X = A^{-1} B = - \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 18 & 34 & -32 \\ -10 & -18 & 16 \\ 1 & 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 50 \\ 2 \\ 31 \end{pmatrix} = - \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -24 \\ -40 \\ -64 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red} 3 \\ \color{red} 5 \\ \color{red} 8 \end{pmatrix}\)

3ème méthode : Pivot de Gauss

Etant donné le système d'équations linéaires :

\((S) \left\{ \begin{array}{l c l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1p}x_{p} & = & b_{1} \quad (\textrm{L}_{1}) \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2p}x_{p} & = & b_{2} \quad (\textrm{L}_{2}) \\ \ldots & & \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{np}x_{p} & = & b_{n} \quad (\textrm{L}_{n}) \end{array} \right.\)

La méthode du pivot de Gauss, consiste à l'aide des opérations élémentaires sur les lignes (\(\textrm{Li}\)), à se ramener à un système triangulaire (ou système échelonné) de la forme :

\((S) \left\{ \begin{array}{l l l l c l} a_{11}x_{1} & + a_{12}x_{2} & + \ldots & + a_{1p}x_{p} & = & b_{1} \quad (\textrm{L}_{1}) \\ & \alpha_{22}x_{2} & + \ldots & + \alpha_{2p}x_{p} & = & \beta_{2} \quad (\textrm{L'}_{2}) \\ \ldots & & & & & \\ & & & ~~\alpha_{np}x_{p} & = & \beta_{n} \quad (\textrm{L'}_{n}) \end{array} \right.\)

La dernière équation (\(\textrm{L'}_{n}\)) donne la valeur de \(x_{n}\), puis \(x_{n-1}\) dans (\(\textrm{L'}_{n-1}\)) après report de \(x_{n}\) dans cette ligne et ainsi de suite jusqu'à la valeur \(x_{1}\) dans (\(\textrm{L}_{1}\)).

Exemple

Résolution du système :

\((S)\quad \left\{ \begin{array}{r c l} x + 3y + 4z & = & 50~~(\textrm{L}_{1}) \\ 3x + 5y - 4z & = & 2~~~~(\textrm{L}_{2}) \\ 4x + 7y - 2z & = & 31~~(\textrm{L}_{3}) \end{array}\right.\)

Elimination de \(x\) dans (\(\textrm{L}_{2}\)) et (\(\textrm{L}_{3}\))

\((S)\quad \left\{ \begin{array}{r c l} x + 3y + 4z & = & 50~~~~(\textrm{L}_{1}) \\ y + 4z & = & 37~~~~(\textrm{L}_{2}) \leftarrow (\textrm{L}_{2}) - 3 (\textrm{L}_{1}) \\ 5y +18z & = & 169~~(\textrm{L}_{3}) \leftarrow (\textrm{L}_{3}) - 4 (\textrm{L}_{1}) \end{array}\right.\)

Elimination de \(y\) dans (\(\textrm{L3}\))

\((S)\quad \left\{ \begin{array}{r c l} x + 3y + 4z & = & 50~~~~(\textrm{L}_{1}) \\ y + 4z & = & 37~~~~(\textrm{L}_{2}) \leftarrow (\textrm{L}_{2}) - 3 (\textrm{L}_{1}) \\ 2z & = & 16~~~~(\textrm{L}_{3}) \leftarrow (\textrm{L}_{3}) - 5 (\textrm{L}_{2}) \end{array}\right.\)

d'où de \((\textrm{L}_{3}) : z = +8\)

puis de \((\textrm{L}_{2}) y = 37 - 4z = 5\)

et enfin de \((\textrm{L}_{1}) : x = 50 - 3y - 4z = 3\)

Les solutions de \((S)\) sont donc : \(x = 3\) ; \(y = 5\) ;\( z = 8\).

Système homogène : \(A_{nn} X_{n} = 0\)

Dans un système homogène, les seconds membres des équations sont nuls et le système s'écrit :

\((S) \left\{ \begin{array}{l c l} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1p}x_{p} & = & 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2p}x_{p} & = & 0 \\ \ldots & & \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{np}x_{p} & = & 0 \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \color{red} A_{nn} X_{n} = 0\)

Si \(\color{red} |A|~A~^{1}~0\): le système admet la solution : \(\color{red} x_{1} = x_{2} = ... = x_{n} = 0\).

Exemple ( Système linéaire homogène ; Régle de Cramer )

Résolution du système homogène suivant :

\((S) \left\{ \begin{array}{r c l} x+y-2z & = & 0 \\ 4x - y + 2z & = & 0 \\ 2x - 6y + 3z & = & 0 \end{array} \right.\)

Le système a pour déterminant :

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & -6 & 3 \end{matrix}\right| = -3 + 4 +48 - 4 -12 +12 = 45\)

La règle de Cramer conduit à :

\(\textcolor{red}{x_{1}} = \frac{\left| \begin{matrix} 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 3 \end{matrix} \right| }{|A|} = \color{red}0 \)

\(\textcolor{red}{x_{2}} = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} \right| }{|A|} = \color{red}0 \)

\(\textcolor{red}{x_{3}} = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & -6 & 3 \end{matrix} \right| }{|A|} = \color{red}0 \)

dans un système homogène : \(AX = 0~~(|A|~^{1}~0)\), la solution est unique.

Si \(\color{red} |A| = 0\): le système admet des solutions autres que la solution triviale précédente.

Exemple ( Système linéaire homogène ; Pivot de Gauss )

Résolution du système homogène suivant :

\((S) \left\{ \begin{array}{r c l} x+y+3z & = & 0 \\ -x - y + 2z & = & 0 \\ 2x + 2y + 3z & = & 0 \end{array} \right.\)

Le système a pour déterminant :

\(|A| = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix}\right| = -3 + 4 -6 - (-6) - 4 - (-3) = 0\)

Le déterminant étant nul, utilisons le pivot de Gauss pour trouver la solution :

\((S) \left\{ \begin{array}{r c l} x+y+3z & = & 0 ~~ (\textrm{L}_{1}) \\ -x - y + 2z & = & 0 ~~ (\textrm{L}_{2}) \\ 2x + 2y + 3z & = & 0 ~~ (\textrm{L}_{3}) \end{array} \right.\)

Eliminons \(x\) dans \((\textrm{L}_{2})\) et \((\textrm{L}_{3})\) :

\((S) \left\{ \begin{array}{r c l} x+y+3z & = & 0 ~~ (\textrm{L}_{1}) \\ 5z & = & 0 ~~ (\textrm{L}_{2}) \leftarrow (\textrm{L}_{2}) + (\textrm{L}_{1}) \\ 3z & = & 0 ~~ (\textrm{L}_{3}) \leftarrow (\textrm{L}_{3}) - 2(\textrm{L}_{1}) \end{array} \right.\)

La solution est immédiate : \(\color{red} x = - y = k~\color{black} \textrm{et}~\color{red} z = 0\quad\color{black}(k \in \mathbb{R})\)