Règle de Cramer
Durée : 10 mn
Note maximale : 5
Question
Soit le système d'équations linéaires ci-dessous :
\(\left\{ \begin{array}{l l l c l}x_{1} & + x_{2} & + x_{3} & = & 2 \\ 2 x_{1} & & - 3 x_{3} & = & -7 \\3x_{1} & -2 x_{2} & -4 x_{3} & = & -5 \\\end{array}\right.\).
Résoudre ce système par la règle de Cramer.
Solution
La matrice \(A\) du système est : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 &-3 \\ 3 &-2 & -4 \end{pmatrix}\)
Calcul du déterminant : \(\color{blue} |A| \color{black} = \left| \begin{matrix} 1& 1& 1 \\ 2& 0& -3 \\ 3 & -2 & -4 \end{matrix} \right| = \color{blue} -11 \qquad \color{red} (2~~\textrm{points})\)
Le système étant de Cramer, il admet pour solution :
\(\textcolor{blue}{x_{1}} = \frac{|A_{1}|}{|A|} = \frac{\left| \begin{matrix} 2 & 1& 1 \\ -7 & 0 & -3 \\ -5& -2 & -4 \end{matrix} \right|}{-11} = \frac{-11}{-11} = \color{blue} 1 \qquad \color{red}(1~~\textrm{point})\)
\(\textcolor{blue}{x_{2}} = \frac{|A_{2}|}{|A|} = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 2& 1 \\ 2 & -7 & -3 \\ 3& -5 & -4 \end{matrix} \right|}{-11} = \frac{22}{-11} = \color{blue} -2 \qquad \color{red}(1~~\textrm{point})\)
\(\textcolor{blue}{x_{3}} = \frac{|A_{3}|}{|A|} = \frac{\left| \begin{matrix} 1 & 1& 2 \\ 2 & 0 & -7 \\ 3& -2 & -5 \end{matrix} \right|}{-11} = \frac{-33}{-11} = \color{blue} 3 \qquad \color{red}(1~~\textrm{point})\)