Inversion matricielle

Durée : 10 mn

Note maximale : 8

Question

Résoudre ce système par l'inversion matricielle :

\(\left\{ \begin{array}{l l l c l}x_{1} & + x_{2} & + x_{3} & = & 2 \\ 2 x_{1} & & - 3 x_{3} & = & -7 \\3x_{1} & -2 x_{2} & -4 x_{3} & = & -5 \\\end{array}\right.\).

Solution

Calculons \(A^{-1} = \frac{^{t}\textrm{com}(A)}{|A|}\) pour déterminer \(X = A^{-1} B\)

Nous avons \(|A| = -11\),

et \(\textcolor{blue}{\textrm{com}(A)} = \begin{pmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \Delta_{13} \\ \Delta_{21} & \Delta_{22} & \Delta_{23} \\\Delta_{31} & \Delta_{32} & \Delta_{33} \end{pmatrix} = \color{blue} \begin{pmatrix} -6 & -1 & -4 \\ 2 & -7 & 5 \\ -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}\qquad\color{red}(4~~\textrm{points})\),

d'où \(\color{blue}A^{-1} = -\frac{1}{11} \begin{pmatrix} -6 & 2& -3 \\ -1 & -7& 5 \\ -4& 5 & -2 \end{pmatrix}\qquad\color{red}(1~~\textrm{point})\)

et \(\textcolor{blue}{X} = A^{-1}B = -\frac{1}{11} \begin{pmatrix} -6 & 2 & -3 \\ -1 & -7 & 5 \\ -4 & 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{pmatrix} -11 \\ 22 \\ -33 \end{pmatrix} = \color{blue} \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

d'où \(\color{blue}x_{1} = 1\) ; \(\color{blue}x_{2} = -2\) ; \(\color{blue}x_{3} = 3\qquad\color{red}(3~~\textrm{points})\)