Condensateurs

Durée : 3 mn

Note maximale : 4

Question

\(C_1 = 1 \mathrm{ \mu F}\) ; \(C_2 = 2 \mathrm{ \mu F}\) ; \(C_3 = 2 \mathrm{ \mu F}\) ; \(\omega=10^3 \mathrm{ rad/s}\)

  1. Donner l'expression de l'impédance complexe \(\underline{Z}\).

  2. Quelle relation lie la capacité totale \(C\) du circuit à \(C_1\) , \(C_2\) et \(C_3\) ?

  3. Donner la valeur numérique de \(\underline{Z}\).

Solution

  1. La loi des mailles permet d'écrire : \(\underline{u} = \underline{u}_1 + \underline{u}_2 + \underline{u}_3\)

    \(\displaystyle{ \underline{u} = \frac{\underline{i}}{j . C_1 . \omega} +\frac{\underline{i}}{j . C_2 . \omega} + \frac{\underline{i}}{j . C_3 . \omega} = \frac{\underline{i}}{j . \omega} . \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} +\frac{1}{C_3} \right) }\) d'où

    \(\displaystyle{ \underline{Z} = \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} +\frac{1}{C_3} \right) . \frac{1}{j\omega} }\) (2 pts)

  2. \(\displaystyle{ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} }\) (1 pt)

  3. \(\displaystyle{ \underline{Z} = \frac{1}{j . C . \omega} = \frac{1}{j.10^3} . \left(\frac{1}{10^{-6}} + \frac{1}{2.10^{-6}} + \frac{1}{2.10^{-6}} \right) = -j . 2000 \mathrm{ } \Omega }\) (1 pt)