Puissance instantanée [Puissance en régime sinusoïdal permanent]

Puissance instantanée

Soit un dipôle^[1] parcouru par un courant sinusoïdal^[2] d'intensité^[3] :

$i(t) = I_m \cos\omega t$

et aux bornes^[4] duquel on observe une tension :

$u(t) = U_m \cos (\omega t + \varphi)$

par analogie avec les lois du courant continu, on appelle puissance instantanée :

$p(t) = u(t).i(t) = U_m I_m \cos ( \omega t+\varphi).\cos \omega t$

en appliquant la relation :

$\cos a.\cos b = (1/2)[\cos ( a+b) + \cos ( a-b) ]$

on obtient :

$p(t) = (1/2)U_m.I_m[\cos(2\omega t + \varphi) + \cos \varphi]$

dont la courbe est représentée ci-dessous :

On voit que la puissance instantanée oscille, à une fréquence^[5] double de celle du courant, entre

$\frac{1}{2}[U_m.I_m(\cos\varphi+1)]\textrm{ et }\frac{1}{2}[U_m.I_m(\cos\varphi-1)]$

sauf dans le cas particulier où $\varphi = 0$ , la valeur minimal de la puissance est donc négative pour les dipôles étudiés $\big(-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}\big)$

Notes

Dipôle
Réseau électrique ou composant relié à l'extérieur par deux pôles ou bornes.
Sinusoïdale
Se dit d'une différence de potentiel ou d'une intensité dont la valeur instantanée est un fonction sinusoïdale du temps.
Exemples : $\displaystyle{i(t)=I_m\cos\omega.t}$
$\displaystyle{u(t)=U_m\cos(\omega.t+\varphi)}$
Intensité
Grandeur caractérisant un courant électrique, c'est-à-dire un déplacement d'ensemble des charges mobiles dans un conducteur.
Unité : l'intensité s'exprime en Ampère ( $A$ )
Relation avec d'autres unités du Système International : l'intensité i(t) est liée à la charge q traversant une section du conducteur par la relation : $\displaystyle{i(t)= dq/dt.i(t)}$ en $A$ , $q$ en coulomb ( $C$ ), $t$ en seconde (s)
Bornes ou pôle :
Contact électrique permettant de relier un réseau ou circuit à des éléments extérieurs (générateur, récepteur, charge, filtre, ...).
Fréquence, période, pulsation :
La fréquence (F) est le nombre de fois où un signal se reproduit identiquement à lui même en une seconde. Pour un signal sinusoïdal, son inverse est appelé période T.
La grandeur $\textrm w = 2.\textrm p.\textrm F$ est appelée pulsation
D'où les écritures équivalentes :
$\displaystyle{U(t)=U_m\cos(2.\pi.F.t)=\cos(2.\pi.\frac{t}{T})=\cos(\omega.t)}$