Bande de travail et bande passante
Partie
Question
Un circuit résonant \(RLC\) série est réalisé à l'aide d'une bobine d'inductance \(\displaystyle{L = 20\textrm{ mH}}\) et d'un condensateur variable.
1) Quelles doivent être les valeurs extrêmes de la capacité pour que la fréquence de résonance de ce circuit soit située dans la gamme UHF d'un récepteur radio ? \(\displaystyle{(85 \textrm{ à } 110 \textrm{ MHz})}\)
2) Quelle doit être la résistance de ce circuit pour que sa sélectivité soit toujours au moins égale à \(\displaystyle{Q = 100}\) ? Pour les deux extrémités de la gamme UHF, déterminer la bande passante du circuit.
Aide simple
Question 1 :
Utiliser la relation entre \(L, C\), et la pulsation à la résonance \(\displaystyle{\omega_0}\).
Question 2 :
Utiliser l'expression de \(Q\) en fonction des valeurs de \(R, L, C\), puis de la fréquence de résonance et de la largeur de bande
Aide détaillée
Question 1 :
Se rappeler qu'à la résonance : \(\displaystyle{L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}}\)
Question 2 :
Utiliser l'expression de \(Q\) en fonction des valeurs de \(R, L, C\) : \(\displaystyle{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\)
puis de la fréquence de résonance et de la largeur de bande : \(\displaystyle{Q=\frac{\omega_0}{\omega_{c2}-\omega_{c1}}=\frac{F_0}{F_{c2}-F_{c1}}}\)
Solution simple
\(\displaystyle{10.5\leq C \leq17.5 \textrm{ nF};\; R\leq 33.8\; \Omega}\) ; pour \(\displaystyle{F_0 = 85 \textrm{ MHz}}\) , bande passante :
\(\displaystyle{84.6\leq F\leq 85.4 \textrm{ MHz}}\) ; pour \(\displaystyle{F_0 = 110 \textrm{ MHz}}\) , bande passante : \(\displaystyle{109,6 \leq F\leq 110,4 \textrm{ MHz}}\)
Solution détaillée
à la résonance \(\displaystyle{L\omega_0=\frac{1}{C\omega_0}}\), donc : \(\displaystyle{C=\frac{1}{L\omega_0^2}=\frac{1}{L.4\pi^2F_0^2}}\)
Pour \(\displaystyle{F_0 = 85 \textrm{ MHz}, C= 17.5 \textrm{ nF}}\)
Pour\(\displaystyle{F_0 = 110 \textrm{ MHz}, C = 10.5 \textrm{ nF}}\)
en fonction des valeurs de \(R, L, C\) : \(\displaystyle{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}\)
\(\displaystyle{Q\ge 100\iff R\leq\frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}}}\) ; pour que l'inégalité soit vérifié pour toutes les valeurs de \(C\), il faut faire le calcul avec la borne supérieure de \(C\) ; d'où : \(\displaystyle{R\leq 33.8 \Omega}\). Avec cette valeur, \(\displaystyle{Q = 100 \textrm{ à } 85 \textrm{ MHz},}\) et \(\displaystyle{Q = 129 \textrm{ à } 110 \textrm{ MHz}}\).
En fonction de la fréquence de résonance et de la largeur de bande :
\(\displaystyle{Q=\frac{\omega_0}{\omega_{c2}-\omega_{c1}}=\frac{F_0}{F_{c2}-F_{c1}}}\)
d'où la bande passante :
\(\displaystyle{84,6\leq F \leq 85,4 \textrm{ MHz }\textrm{ pour }F_0 = 85 \textrm{ MHz }, \textrm{et} :109,6\leq F \leq 110,4 \textrm{ MHz } \textrm{ pour } F_0 = 110 \textrm{ MHz }}\)