Somme de deux tensions (2)

Partie

Question

Sachant que :

  • \(u_3(t) = 2\cos ( 100 \pi t + \pi/3)\)

  • \(u_4(t) = 2\cos ( 100 \pi t - \pi/3)\)

    En déduire l'équation de la tension : \(u(t) = u_3(t) + u_4(t)\)

Aide simple

Le vecteur de Fresnel représente la tension à \(t = 0\).

Aide détaillée

Le vecteur de Fresnel représentant une tension a un module proportionnel à l'amplitude de cette tension et fait avec l'axe origine (ou axe de référence) un angle égal à la phase à l'origine.

Rappel de cours

Construction de Fresnel

La construction de Fresnel permet de représenter une grandeur sinusoïdale[1] par un vecteur tournant. A chaque instant la grandeur sera égale à la projection du vecteur qui la représente sur l'axe de référence.

Exemple :

une tension[2] \(u(t) = U_m \cos (\omega t +\varphi)\) sera représentée par un vecteur :

  • de longueur proportionnelle à \(U_m\) ,

  • tournant à la vitesse angulaire \(\omega\),

  • faisant à l'instant \(t = 0\) un angle \(\varphi\) avec l'axe choisi comme origine des phases[3] (axe de référence)

Remarque 1 :

Si l'on représente sur la même construction de Fresnel plusieurs tensions de même fréquence, les vecteurs qui les représentent tournent à la même vitesse. La figure obtenue tourne donc sans se déformer.

Par commodité, on choisit de la construire à \(t = 0\). Dans ce cas, pour représenter une tension, il suffira de construire un vecteur de longueur proportionnelle à \(U_m\) faisant un angle \(\varphi\) avec l'axe choisi comme origine des phases. Toute tension sera ainsi associée à un point du plan.

Remarque 2 :

La construction de Fresnel est surtout commode pour l'étude des associations de dipôles[4] en série. Comme ils sont parcourus par le même courant, on prendra comme origine des phases le vecteur représentant l'intensité[5]. Le vecteur représentant une somme de tensions sera obtenu en construisant la somme des vecteurs représentant les tensions à additionner.

Aide méthodologique

Construction de Fresnel

Solution simple

\(u(t) = 2\cos 100 \pi t\)

Solution détaillée

Pour \(u_3\), l'amplitude de la tension est \(2 \textrm{V}\). Le vecteur aura donc pour module \(2\) fois l'unité choisie.

La phase à l'origine vaut  \(\pi/3\) : le vecteur fait un angle de\(\pi/3\) avec l'axe de référence.

Pour \(u_4\),l'amplitude de la tension est \(2 V\). Le vecteur aura donc pour module \(2\) fois l'unité choisie.

La phase à l'origine vaut \(-\pi/3\) : le vecteur fait un angle de \(-\pi/3\) avec l'axe de référence.

La somme des vecteurs représente la somme des tensions. La figure obtenue est un triangle équilatéral.

D'où l'équation de \(u(t) : u(t) = 2 \cos 100 \pi t\)