Somme de trois tensions [Représentation de Fresnel]

Somme de trois tensions

Partie

Question

Sachant que :

$u_3(t) = 2\cos ( 100 \pi t + \pi/3)$

$u_4(t) = 2\cos ( 100 \pi t - \pi/3)$

$u_5(t) = 2\cos 100 \pi t$

En déduire l'équation de la tension : $u(t) = u_3(t) + u_4(t) - u_5(t)$

Aide simple

Le vecteur de Fresnel représente la tension à $t = 0$ .

La construction de Fresnel permet de représenter une grandeur sinusoïdale^[1] par un vecteur tournant. A chaque instant la grandeur sera égale à la projection du vecteur qui la représente sur l'axe de référence.

Exemple :

une tension^[2] $u(t) = U_m \cos (\omega t +\varphi)$ sera représentée par un vecteur :

de longueur proportionnelle à $U_m$ ,
tournant à la vitesse angulaire $\omega$ ,
faisant à l'instant $t = 0$ un angle $\varphi$ avec l'axe choisi comme origine des phases^[3] (axe de référence)

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Remarque 1 :

Si l'on représente sur la même construction de Fresnel plusieurs tensions de même fréquence, les vecteurs qui les représentent tournent à la même vitesse. La figure obtenue tourne donc sans se déformer.

Par commodité, on choisit de la construire à $t = 0$ . Dans ce cas, pour représenter une tension, il suffira de construire un vecteur de longueur proportionnelle à $U_m$ faisant un angle $\varphi$ avec l'axe choisi comme origine des phases. Toute tension sera ainsi associée à un point du plan.

Remarque 2 :

La construction de Fresnel est surtout commode pour l'étude des associations de dipôles^[4] en série. Comme ils sont parcourus par le même courant, on prendra comme origine des phases le vecteur représentant l'intensité^[5]. Le vecteur représentant une somme de tensions sera obtenu en construisant la somme des vecteurs représentant les tensions à additionner.

Aide méthodologique

Solution simple

$u(t) =0$

Solution détaillée

Pour $u_3$ ,l'amplitude de la tension est $2 V$ . Le vecteur aura donc pour module $2$ fois l'unité choisie.

La phase à l'origine vaut $\pi/3$ : le vecteur fait un angle de $\pi/3$ avec l'axe de référence.

Pour $u_4$ ,l'amplitude de la tension est $2 V$ . Le vecteur aura donc pour module $2$ fois l'unité choisie.

La phase à l'origine vaut $-\pi/3$ : le vecteur fait un angle de $-\pi/3$ avec l'axe de référence.

Pour $u_5$ ,l'amplitude de la tension est $2 V$ . Le vecteur aura donc pour module $2$ fois l'unité choisie. La phase à l'origine est nulle : le vecteur est porté par l'axe de référence. La somme des vecteurs représente la somme des tensions : la figure obtenue est un triangle équilatéral fermé.

D'où l'équation de $u(t) : u(t) = 0$

Notes

Sinusoïdale
Se dit d'une différence de potentiel ou d'une intensité dont la valeur instantanée est un fonction sinusoïdale du temps.
Exemples : $\displaystyle{i(t)=I_m\cos\omega.t}$
$\displaystyle{u(t)=U_m\cos(\omega.t+\varphi)}$
Tension
La tension électrique entre deux points d'un réseau est égale à la différence de potentiel électrique entre ces deux points. C'est une grandeur algébrique, représentée par une flèche.
$\displaystyle{U_{AB}=V_A-V_B}$
$\displaystyle{V_A> V_B} :U_{AB}>0$
$\displaystyle{V_A< V_B :U_{AB}<0}$
Unité : comme le potentiel électrique, la tension s'exprime en Volt ( $\textrm{ V }$ ).
Phase
Soient deux tensions sinusoïdales de même fréquence :
$\displaystyle{u_1(t)=U_{1m}\cos(\omega.t+\varphi_1)}$
$\displaystyle{u_2(t)=U_{2m}\cos(\omega.t+\varphi_2)}$
$\displaystyle{\omega.t+\varphi_1}$ et $\displaystyle{\omega.t+\varphi_1}$ sont les phases instantanées des deux tensions.
$j_1 \textrm{ et }j_2)$ sont les phases à l'origine des deux tensions.
$j_1-j_2$ est la différence de phase de $j_2$ par rapport à $j_1$ .
si $j_2-j_1> 0$ , $U_2$ est en avance par rapport à $U_1$
si $j_2-j_1< 0$ , $U_2$ est en retard par rapport à $U_1$
si $j_2-j_1 = 0$ , $U_1 \textrm{ et }U_2$ sont en phase
si $j_2-j_1 = \pm \pi$ , $U_1 \textrm{ et }U_2$ sont en opposition de phase
si $\displaystyle{j_2-j_1 = \frac{\pi}{2}}$ , $U_1$ est en quadrature avant par rapport à $U_1$
si $j_2-j_1 = -\frac{\pi}{2}$ , $U_2$ est en quadrature avant par rapport à $U_1$
Dipôle
Réseau électrique ou composant relié à l'extérieur par deux pôles ou bornes.
Intensité
Grandeur caractérisant un courant électrique, c'est-à-dire un déplacement d'ensemble des charges mobiles dans un conducteur.
Unité : l'intensité s'exprime en Ampère ( $A$ )
Relation avec d'autres unités du Système International : l'intensité i(t) est liée à la charge q traversant une section du conducteur par la relation : $\displaystyle{i(t)= dq/dt.i(t)}$ en $A$ , $q$ en coulomb ( $C$ ), $t$ en seconde (s)

Représentation de Fresnel