Amortissement faible
Partie
Question
Considérons un système amorti « masse-ressort » horizontal, caractérisé par les données \(m, k, l_ {0}\). Les valeurs de la pulsation propre \(\omega_ {0}\) et du coefficient d'amortissement \(\lambda\) sont telles que le régime d'évolution est pseudo- périodique (\(\lambda < \omega_{0}\)).
Dans ce cas on rappelle que l'abscisse de la masse, \(x(t)\), repérée par rapport à la position d'équilibre s'exprime par la relation \(x(t) = x_{m} e^{- \lambda t} \cos (\omega_{1} t + \varphi)\).
Exprimer l'énergie mécanique \(E(t)\) du système à un instant \(t\), puis à des instants \(t_{n}\) et \(t_{n} + T_{1}\), \(t_{n}\) correspondant à un extrémum du graphe de \(x(t)\).
Quelles sont les valeurs de l'énergie cinétique à ces deux instants \(t_{n}\) et \(t_{n} + T_{1}\) ?
Écrire l'expression de la variation d'énergie entre les deux instants précédents \(\Delta E = E(t_{n} + T_{1}) - E(t_{n})\) en fonction de \(x(t_{n})\) et de \(x(t_{n} + T_{1})\).
Que représente \(\Delta E\) ? Justifier son signe.
Exprimer ensuite \(\Delta E\) en fonction de \(E(t_{n})\) et du décrément logarithmique \(\delta\) , puis le rapport \(\frac{\Delta E}{E(t_{n})}\). Conclusion ?
Rappel de cours
Amortissement, décrément logarithmique :
Suivant les valeurs des caractéristiques \(\omega_{0}\) et \(\lambda\) de l'oscillateur, on rappelle les différents cas d'amortissement :
\(\lambda> \omega_{0}\): amortissement fort (régime apériodique)
\(\lambda = \omega_{0}\): amortissement critique (régime critique)
\(\lambda < \omega_{0}\): amortissement faible (régime pseudo-périodique)
\(\lambda \ll \omega_{0}\): amortissement très faible (régime pseudo-périodique)
Dans le cas du régime pseudo-périodique, on définit le décrément logarithmique :
\(\delta = \ln \frac{x(t_{n})}{x(t_{n} + T_{1})} = \lambda T_{1}\)
Solution détaillée
L'énergie mécanique s'écrit \(E(t) = E_{c}(t) + E_{p}(t) = \frac{1}{2} m ~x'^{2}(t) + \frac{1}{2} k ~x^{2}(t)\).
Aux instants \(t_{n}\) et \(t_{n} + T_{1}\), la vitesse de la masse s'annule, les énergies cinétiques correspondantes sont nulles et il en résulte :
\(E(t_{n}) = \frac{1}{2} k ~x^{2}(t_{n})\) et \(E(t_{n} + T_{1}) = \frac{1}{2} k ~x^{2} (t_{n} + T_{1})\)
La variation d'énergie entre les instants \(t_{n}\) et \(t_{n} + T_{1}\) s'écrit :
\(\Delta E = E(t_{n} + T_{1}) - E(t_{n}) = \frac{1}{2} k ~x^{2}(t_{n}) \bigg[\frac{x^{2}(t_{n} + T_{1})}{x^{2}(t_{n})} - 1 \bigg] = E(t_{n}) \big[e^{-2 \delta} - 1 \big]\)
en rappelant que le décrément logarithmique est \(\delta = \ln \frac{x(t_{n})}{x(t_{n} + T_{1})}\), d'où \(\frac{x(t_{n})}{x(t_{n} + T_{1})} = e^{\delta}\).
\(\Delta E\) est négatif : l'énergie du système décroit en fonction du temps.\(|\Delta E |\) représente l'énergie dissipée par l'oscillateur au cours d'une pseudo-période.
On en déduit finalement le rapport : \(\frac{\Delta E}{E(t_{n})} = e ^{-2 \delta} -1\)
Ce rapport (sans dimension) représente l'énergie relative dissipée par l'oscillateur au cours d'une pseudo-période. Il est constant.