Expression analytique des oscillations
Durée : 10 mn
Note maximale : 8
Question
Un oscillateur mécanique horizontal décrit par la figure ci-dessous, caractérisé par la pulsation propre\(\omega_{0}\)et le coefficient d'amortissement\(\lambda\), est soumis à la force d'excitation\(\vec{F}_{exc} = F_{m}\cos(\Omega t)\vec{e}_{x}\). L'oscillateur est tel que\(\lambda<\omega_{0}\).
On rappelle que dans ce cas la position \(x\) de la masse satisfait à l'équation différentielle :\(\qquad\) \(\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{\mu}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = \frac{F_{m}}{m}\cos(\Omega t)\)
Identifiez les coefficients\(\frac{\mu}{m}\)et\(\frac{k}{m}\)de l'équation différentielle. (2 pts)
Quelle est la forme de la solution générale de l'équation différentielle. Exprimez-la analytiquement. (6 pts)
Solution
(2 pts) Par définition, le coefficient\(\frac{\mu}{m}\)est égal à\(2\lambda\)où\(\lambda\)représente le coefficient d'amortissement. Par conséquent,\(\frac{\mu}{m}\)caractérise l'amortissement du système oscillant.
Le coefficient\(\frac{k}{m}\)est égal à\(\omega_{0}^{2}\)où\(\omega_{0}\)représente la pulsation propre du système oscillant. Ainsi,\(\frac{k}{m}\)caractérise la pulsation propre des oscillations.
(6 pts) La solution générale de l'équation différentielle,\(x(t)\), est la somme de deux fonctions, l'une étant la solution générale de l'équation différentielle sans second membre\((x_{g}(t))\), la deuxième étant une solution particulière de l'équation différentielle\((x_{p}(t))\) :\(\qquad\) \(x(t) = x_{g}(t) + x_{p}(t)\)
L'expression analytique de la fonction\(x_{g}(t)\)est déterminée simplement en résolvant l'équation différentielle sans second membre :\(\qquad\) \(\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{\mu}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0\)
La forme de la solution générale de cette équation dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique associée :
\(r^{2} + \frac{\mu}{m}r + \frac{k}{m} = 0 \Leftrightarrow r^{2}+2\lambda r + \omega_{0}^{2} = 0\)
Le discriminant réduit de cette équation est donc égal à :\(\Delta' = \lambda^{2} - \omega_{0}^{2}\). Or, d'après l'énoncé, on sait que\(\lambda<\omega_{0}\), par conséquent\(\Delta'<0\), c'est-à-dire que le régime est pseudo-périodique. La solution générale de l'équation différentielle sans second membre est donc égal à :\(\qquad\) \(x_{g}(t) = x_{m}e^{-\lambda t}\cos(\omega_{1}t + \varphi)\)
\(\varphi\)et\(x_{m}\)représente respectivement la phase à l'origine et l'amplitude maximale de la fonction\(x_{g}(t)\). Ces constantes sont déterminées à partir des conditions initiales et en tenant compte de l'expression de la solution générale de l'équation différentielle complète (avec second membre). La pulsation\(\omega_{1}\)représente quant à elle la pseudo-pulsation et est égale à\(\sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}\).
L'expression analytique de la fonction\(x_{p}(t)\)dépend de la forme du second membre de l'équation différentielle. Le second membre, égal à\(\frac{F_{m}}{m}\cos(\Omega t)\), est harmonique, de pulsation\(\Omega\). Une solution particulière de l'équation différentielle s'écrit donc :\(\qquad\) \(x_{p}(t) = x_{pm}\cos(\Omega t + \Phi)\)
Les paramètres\(x_{pm}\)et\(\Phi\)sont déterminés à partir des données du problème.
Finalement la solution de l'équation différentielle décrivant la réponse de l'oscillateur est égale à :
\(x(t) = x_{g}(t) + x_{p}(t) = x_{m}e^{-\lambda t}\cos(\omega_{1}t + \varphi) + x_{pm}\cos(\Omega t + \Phi)\)