Représentation complexe
Durée : 5 mn
Note maximale : 3
Question
On considère un oscillateur harmonique en régime forcé. Il s'agit d'un oscillateur mécanique de masse\(m\). Etablir l'expression de l'amplitude complexe en régime permanent sachant que l'équation différentielle associée au système s'écrit :\(x''+2\lambda x' + \omega_{0}^{2}x = \frac{F_{m}}{m}\cos(\Omega t)\)
où\(\lambda\)est le coefficient d'amortissement,\(\omega_{0}\)la pulsation propre,\(F_{m}\)l'amplitude de la force d'excitation et\(\Omega\)la pulsation de l'excitation.
Solution
En régime permanent, on a\(x(t)\approx x_{pm}(t) = x_{pm}\cos(\Omega t + \phi_{p})\).
On écrit l'équation différentielle sous forme complexe :
\(\underline{x''(t)} + 2\lambda\underline{x'(t)} + \omega_{0}^{2}\underline{x(t)} = \frac{F_{m}}{m}e^{j\Omega t}\)
avec :
\(\underline{x(t)} = x_{pm}e^{j(\Omega t + \phi_{p})} = \underline{X_{pm}}e^{j\Omega t}\)
\(\underline{x'(t)} = j\Omega x_{pm}e^{j(\Omega t + \phi_{p})} =j\Omega.\underline{X_{pm}}e^{j\Omega t}\)
\(\underline{x''(t)} = - \Omega^{2}x_{pm}e^{j(\Omega t + \phi_{p})} =-\Omega^{2}\underline{X_{pm}}e^{j\Omega t}\)
où\(\underline{X_{pm}}\)est l'amplitude complexe et est égale à\(\underline{X_{pm}} = x_{pm}e^{j\phi_{p}}\).
On a alors :
\(-\Omega^{2}\underline{X_{pm}}e^{j\Omega t} + j2\lambda\Omega\underline{X_{pm}}e^{j\Omega t} + \omega_{0}^{2}\underline{X_{pm}}e^{j\Omega t} = \frac{F_{m}}{m}e^{j\Omega t}\)
soit : \(- \Omega^{2}\underline{X_{pm}} + j2\lambda\Omega\underline{X_{pm}} + \omega_{0}^{2}\underline{X_{pm}} = \frac{F_{m}}{m}\)
Par conséquent, l'amplitude complexe s'écrit :
\(\underline{X_{pm}} = \frac{\frac{F_{m}}{m}}{(\omega_{0}^{2} - \Omega^{2}) + j(2\lambda\Omega)}\)