Circuits du premier ordre

Tant que l'interrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans le circuit.

Les 3 bobines en parallèle sont équivalentes à une bobine unique, d'inductance

\(\displaystyle{ L_e = \frac{L}{3} = 300 \mathrm{ mH} }\). Les 2 résistances en parallèle sont équivalentes à une résistance unique, de valeur \(\displaystyle{ \frac{10}{2} = 5 \mathrm{ } \Omega}\).

Quand on ferme l'interrupteur, tout se passe donc comme si le générateur débitait dans un circuit composé d'une résistance \(R_e = 15 \mathrm{ } \Omega\) en série avec une bobine d'inductance \(L_e = 300 \mathrm{ mH}\). (2 pts)

Appliquons la loi d'addition des tensions :

\(\displaystyle{ E - L_e . \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} - R_e . i = 0 }\)

\(\displaystyle{ i + \frac{L_e}{R_e} . \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} = \frac{E}{R_e} }\)

Le circuit est donc un circuit du premier ordre de constante de temps \(\displaystyle{ \tau = \frac{L_e}{R_e} }\). Le courant débité par le générateur est donc de la forme :

\(\displaystyle{ i(t) = K . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + C }\)

où \(K\) et \(C\) sont deux constantes, la première dépendant des conditions initiales, la seconde parce que le second membre de l'équation différentielle est constant. (2 pts)

Détermination de la solution particulière \(C\) :

Le second membre de l'équation différentielle étant constant, on cherche une solution particulière \(i = \mathrm{constante} = C\). Alors \(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} = 0}\), donc \(\displaystyle{ i = \frac{E}{R_e} = C }\). (2 pts)

D'où : \(\displaystyle{ i(t) = K . \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} + \frac{E}{R_e} }\)

L'intensité du courant dans une bobine varie de façon continue. Comme il n'y avait aucun courant avant la fermeture de l'interrupteur, et que l'intensité est la même partout dans le circuit simplifié, à \(t = 0\), on a \(i = 0\).

\(\displaystyle{ i(0) = K . \mathrm{e}^{-{0}/{\tau}} + \frac{E}{R_e} = 0 }\) \(\displaystyle{ \Rightarrow K = - \frac{E}{R_e} }\)

Finalement : \(\displaystyle{ i(t) = \frac{E}{R_e} . \left( 1 - \mathrm{e}^{-{t}/{\tau}} \right) }\)

L'intensité débitée par le générateur croît de \(0\) à \(\displaystyle{ \frac{E}{R_e} }\). (3 pts)

Application numérique :

\(\displaystyle{ t = \tau = \frac{L_e}{R_e} = \frac{\mathrm{0,3}}{15} = 20 \mathrm{ ms} }\) ;

\(\displaystyle{ \frac{E}{R_e} = \frac{6}{15} = \mathrm{0,4 A}}\) (2 pts)