Systèmes du premier ordre

\(\theta=\mathrm{38,9°C}\) pour \(t=\mathrm{53 s}\); pour \(t=\mathrm{60 s}\), \(\mathrm{38,9°C}<\theta<\mathrm{39°C}\)

La variation de température appliquée au thermomètre peut être considérée comme un échelon de \(\theta_1=\mathrm{19°C}\) à \(\theta_1=\mathrm{39°C}\). Puisque le thermomètre est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}\) + solution particulière de l'équation complète

comme la grandeur à mesurer (température du malade) est constante, on cherche une solution particulière constante, ce qui donne \(\theta=\theta_f\), d'où la solution générale :

\(\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+\theta_f\)

pour déterminer la constante \(\mathrm A\), il faut utiliser les conditions initiales ; si on prend comme origine des dates l'instant où le thermomètre est mis en contact avec le malade, à \(t=0\)le thermomètre indiquait \(\theta_1\):

\(\theta(0)=\theta_i=\mathrm A+\theta_f\), d'où \(\mathrm A=\theta_i-\theta_f\); finalement :

\(\theta(t)=(\theta_i-\theta_f)\mathrm e^{-t/\tau}+\theta_f=-20.\mathrm e^{-t/\tau}+39\)

le thermomètre indique \(\mathrm{38,9°C}\) pour \(t=\mathrm{53 s}\).

pour \(t=\mathrm{60 s}\), il indique donc : \(\mathrm{38,9°C}<\theta<\mathrm{39°C}\); comme il est gradué en \(1/10\) de degré, on peut estimer qu'au bout d'une minute, on peut lire la température du malade