Variation linéaire de température [Systèmes du premier ordre]

Variation linéaire de température

Partie

Question

Un thermoplongeur élève la température d'un bain de $\mathrm{1°C}$ par minute. La température de départ est $\mathrm{18°C}$ . On suit l'évolution de la température à l'aide d'un capteur qui affiche la valeur de la température, et, au départ, est en équilibre thermique avec le bain. La constante de temps de ce capteur est $\tau=\mathrm{6 s}$ .

Quelle est l'équation donnant la température affichée par le capteur ?

Au bout de combien de temps peut-on, dans la réponse du capteur, négliger le terme transitoire, si la résolution du capteur est de $1/100$ de degré ?

Quelle est la température affichée au bout de 2 minutes ? Quelle correction faut-il alors faire pour obtenir la valeur exacte de la température du bain ?

Aide simple

constante de temps

$\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}$ + solution particulière de l'équation complète

Aide détaillée

Solution simple

$\theta(t)=c.e^{-t/\tau}+\theta_0+c(t-\tau)=\mathrm{0,1}e^{-t/\tau}+18+(t-6)/60$

$t\ge\mathrm{13,8 s}$

$t=\mathrm{2 min}$ ; $\theta(t)=\mathrm{19,9°C}$ , correction à faire : $+\mathrm{0,1°C}$ .

Solution détaillée

Puisque le capteur est un capteur linéaire du premier ordre, sa réponse va être :

$u(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}$ + solution particulière de l'équation complète

comme la grandeur à mesurer (température du liquide) varie linéairement dans le temps, on cherche une solution particulière fonction linéaire de $t$

température du liquide : $\theta_1=\theta_0+c.t=18+t/60$

solution particulière : $\theta(t)=a+b.t$ , d'où : $\mathrm d\theta/\mathrm dt=b$

résolution de l'équation différentielle :

$\tau=(\mathrm d\theta/\mathrm dt)+\theta(t)=\theta_1\Leftrightarrow\tau b+a+b.t=\theta_0+c.t$

identification

- des termes du premier ordre : $b.t=c.t \Rightarrow b=c$

- des termes constants : $\tau b+a=\theta_0\Rightarrow a=\theta_0-\tau b=\theta_0-c\tau$

ce qui donne $\theta(t)=\theta_0+c(t-\tau)$ , variation linéaire décalée de $\tau$ dans le temps par rapport à la température du liquide

d'où la solution générale :

$\theta(t)=\mathrm{A.e}^{-t/\tau}+\theta_0+c(t-\tau)$

pour déterminer la constante $\mathrm A$ , il faut utiliser les conditions initiales ; comme avant que la température commence à monter, le thermomètre est en équilibre avec le liquide : $\theta(0)=\theta_0$ ,

$\theta(0)=\mathrm A+\theta_0-c.\tau=\theta_0\Rightarrow \mathrm A=c.\tau$

Finalement :

$\theta(t)=c.\tau.e^{-t/\tau}+\theta_0+c(t-\tau)=\mathrm{0,1}.e^{-t/6}+18+(t-6)/60$ . ( $\theta$ en $^\circ\textrm{C}$ , $t$ en $\mathrm s$ )

l'écart $c.\tau.e^{-t/\tau}$ entre la lecture du thermomètre et la solution particulière devient négligeable quand il est inférieur à la résolution du capteur, soit :

$c.\tau.e^{-t/\tau}\le\mathrm{0,01°C}\Leftrightarrow\mathrm{0,1}e^{-t/6}\le\mathrm{0,01}\Leftrightarrow e^{-t/6}\le\mathrm{0,1}\Leftrightarrow e^{+t/6}\ge10$ , ce qui donne $t\ge6.\ln10=\mathrm{13,8 s}$

au bout de deux minutes, cet écart est donc négligeable, et la température indiquée par le capteur peut être calculée en utilisant la solution particulière : $\theta(t)=\theta_0+c(t-\tau)=\theta_1-c\tau$ ; la correction à faire pour avoir la température réelle du liquide est c t = 0,1°C ; le capteur indique 19,9°C, alors que la température du liquide est de 20°C.