Ondes électromagnétiques

On étudie la propagation (dans un milieu homogène et isotrope) d'une onde électromagnétique, mais en se limitant aux régions de l'espace où :

• la densité volumique de charge est nulle : \(\rho = 0\)

• le vecteur densité de courant est nul : \(\vec j = 0\)

Le théorème noté (4) - § précédent - permet d'exprimer le Laplacien d'un vecteur.

En particulier, dans le cas des vecteurs \(\vec E\) et \(\vec B\), l'expression correspondante se simplifie si l'hypothèse ci-dessus est satisfaite.

En effet, on obtient alors en utilisant Maxwell :

\(\rho = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \mathrm{div} ~ \vec E = 0 ~~\) et \(\vec j = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec B = \varepsilon . \mu \frac{\partial \vec E}{\partial t}\)

Dans ces conditions (et en utilisant à nouveau les équations de Maxwell) on obtient :

\(\Delta \vec E = - \overrightarrow{\mathrm{rot}} ( \overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec E ) = \overrightarrow{\mathrm{rot}} \Big(\frac{\partial \vec B}{\partial t}\Big) = \frac{\partial}{\partial t} (\overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec B) = \varepsilon . \mu . \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}\)

\(\Delta \vec B = - \overrightarrow{\mathrm{rot}} ( \overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec B ) = - \overrightarrow{\mathrm{rot}} \Big( \varepsilon . \mu . \frac{\partial \vec E}{\partial t}\Big) = - \varepsilon . \mu . \frac{\partial}{\partial t} (\overrightarrow{\mathrm{rot}} ~ \vec E) = \varepsilon . \mu . \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}\)

Soit \(\begin{array}{ccc} \Delta \vec E = \varepsilon . \mu . \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} \\ \Delta \vec B = \varepsilon . \mu . \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2} \end{array}\)

Ces deux équations (vectorielles) sont les équations de propagation des champs (vectoriels) électriques et magnétiques.

Notations : On appelle d'Alembertien l'opérateur \(\Box = \Delta - \varepsilon . \mu . \frac{\partial^2}{\partial t^2} ~~~~ \Rightarrow\)