Ondes électromagnétiques

On considère une région de l'espace, où la densité volumique de charges est \(\rho(M)\) et où règne un champ \(\vec E\) dérivant d'un potentiel \(\Phi(M)\).

On va montrer que dans ces conditions existe en tout point \(M\) une densité d'énergie \(w(M)\).

Cette densité se définit donc par \(w = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\tau}\) où \(\mathrm{d}\tau\) est un élément de volume en \(M\).

Pour évaluer \(w\), on va chercher quelle est l'énergie élémentaire nécessaire pour faire varier \(\rho\) de \(\mathrm{d}\rho\), énergie qui serait égale à celle nécessaire pour amener une charge : \(\delta q = \delta \rho . \delta \tau\) depuis l'infini (pris comme origine des potentiels) jusqu'au point \(M\) considéré.

Pour effectuer ce déplacement (à vitesse \(\approx 0\)), un opérateur aurait à vaincre la force : \(\delta \vec F = \delta q . \vec E\), et donc fournirait le travail correspondant au déplacement de la force (\(- \delta \vec F\)) de l'infini jusqu'au point \(M\), soit :

\(\displaystyle{\int_M^{\infty} \delta \vec F . \mathrm{d} \vec r = \delta q . \int_M^{\infty} \vec E . \mathrm{d} \vec r = - \delta q . \int_M^{\infty} \overrightarrow{\mathrm{grad}} ~ \Phi . \mathrm{d} \vec r = - \delta q (\Phi_{\infty} - \Phi_M) = \delta q . \Phi_M = \mathrm{d}\rho . \mathrm{d} \tau . \Phi_M}\)

Une variation de la densité de charge : \(\mathrm{d}\rho\) dans un domaine \(\tau\) fait donc varier l'énergie dans ce domaine, d'une quantité :

(où \(\Phi\) est le potentiel en fonction du point \(M\) de \(\tau\))

On a par ailleurs : \(\mathrm{div} ~ \vec D = \rho\) d'où : \(\mathrm{d}\rho = \mathrm{d}(\mathrm{div} ~ \vec D) = \mathrm{div} (\mathrm{div} ~ \vec D)\),

\(\vec D\) étant le vecteur déplacement électrique, pour un milieu isotrope de permittivité électrique \(\varepsilon\), on a la relation \(\vec D = \varepsilon . \vec E\) .

En utilisant l'identité vectorielle : \(\mathrm{div}(\Phi . \mathrm{d} \vec D) = \Phi . \mathrm{div}(\mathrm{d} \vec D ) + ~ \overrightarrow{\mathrm{grad}} ~ \Phi ~ . ~ \mathrm{d} \vec D\), il vient :

\(\Phi . \mathrm{d} \rho = \Phi . \mathrm{div} (\mathrm{d} \vec D) = \mathrm{div} (\Phi . \mathrm{d} \vec D) - ~ \overrightarrow{\mathrm{grad}} ~ \Phi ~ . ~ \mathrm{d} \vec D\)

Sachant que le champ \(\vec E\) dérive du potentiel \(\Phi\) : \(\vec E = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} ~ \Phi\), on obtient

\(\mathrm{d}W = \iiint_{(\tau)} \mathrm{d}\rho . \mathrm{d} \tau . \Phi_M = \iiint_{(\tau)} \mathrm{div}(\Phi . \mathrm{d} \vec D) \mathrm{d} \tau+ \iiint_{(\tau)} \vec E . \mathrm{d} \vec D ~ \mathrm{d} \tau\)

D'après le théorème de Green : \(\iiint_{(\tau)} \mathrm{div}(\Phi . \mathrm{d} \vec D) \mathrm{d} \tau = \iint_{(S)} (\Phi . \mathrm{d} \vec D) . \vec n ~ \mathrm{d} S\) , où \(S\) est la surface fermée délimitant le volume \(\tau\).

\(\vec D\) (comme \(\vec E\)) variant en \(\frac{1}{r^2}\) et \(\Phi\) en \(\frac{1}{r} ~~ \Rightarrow\) le vecteur \(( \Phi ~ \mathrm{d} \vec D)\) varie en \(\frac{1}{r^3}\) .

A condition que la densité de charges soit contenue dans un domaine défini, le flux de \((\Phi ~ \mathrm{d} \vec D)\) à travers \(S\) tend donc vers zéro quand \(S\) tend vers l'infini, puisque dans ces conditions \(S\) varie en \((r^2)\).

La variation d'énergie dans tout l'espace correspondant à une variation \(\mathrm{d} \vec E\) est donc :

\(\mathrm{d}W = \iiint_{(\tau)} \vec E . \mathrm{d} \vec D ~ \mathrm{d} \tau = \iiint_{(\tau)} \varepsilon \vec E . \mathrm{d} \vec E ~ \mathrm{d} \tau\)

Mais \(\vec E . \mathrm{d} \vec E = \frac{1}{2} \mathrm{d} (E^2)\) d'où : \(\mathrm{d}W = \iiint_{(\tau)} \varepsilon \frac{\mathrm{d}E^2}{2} \mathrm{d} \tau = \mathrm{d} ~ \iiint_{(\tau)} \frac{\varepsilon E^2}{2} \mathrm{d} \tau\) (en utilisant le théorème de différentiation sous le signe somme).

Si des courants continus traversent des conducteurs placés dans le vide ou dans une matière magnétique (homogène ou non) dans une région de l'espace où existe un champ magnétique, une variation locale de la densité de courant produit également une variation élémentaire de l'énergie magnétique emmagasinée.

On montre (mais on l'admettra sans démonstration) que cette variation d'énergie peut se calculer par l'intermédiaire du flux (dans les circuits en présence) qu'induit la variation de densité de courant.

Cette expression est valable plus généralement que le cas particulier dans lequel elle a été établie ici. Elle reste valable en particulier dans le cas d'une onde électromagnétique variable au cours du temps : elle permettra par exemple d'exprimer l'énergie transportée par une onde qui se propage, ou l'énergie localisée dans un domaine où est établi un régime stationnaire.