Système 2 masses - 2 Ressorts
Partie
Question
Système au repos
Système en mouvement
Les 2 masses sont assujetties à se déplacer (sans frottement) le long de la même droite D horizontale.
Expliciter la matrice \(U\) de l'équation \(\ddot{\psi}=U.\psi\), avec \(\omega_0^2=\frac{K}{m}\)
Déterminer les pulsations propres \(\omega_1\) et \(\omega_2\) et les vecteurs propres correspondants \(M_1\) et \(M_2\).
En coordonnées \(\psi\), écrire les modes propres et la solution générale.
Aide simple
Revoir la mise en équation : les écarts des masses par rapport à leur position d'équilibre doivent impérativement être représentés algébriquement.
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
Ces animations représentent des vibrations transversales : les 2 masses se situent sur une enveloppe sinusoïdale, à l'intersection avec les droites D1 respectivement D2.
La période spatiale du mode 1 (symétrique) est égale à 2.L.
La période spatiale du mode 2 (antisymétrique) est égale à L.
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
Impossible d'accéder à la ressource audio ou vidéo à l'adresse :
La ressource n'est plus disponible ou vous n'êtes pas autorisé à y accéder. Veuillez vérifier votre accès puis recharger le média.
Le système représenté sur ces vidéos est un peu différent de celui qui est étudié ici, mais il permet de le comprendre par analogie.
Rappel de cours
Voir la page Mise en équations
Solution détaillée
Les 2 masses se déplacent sans frottement le long de la même droite D horizontale.
Allongements des ressorts
Le premier ressort a un allongement algébrique : \(\psi^1\) par rapport à sa longueur au repos.
Le second ressort a un allongement :
\(\overline{M_1M_2}-\overline{O_1O_2}=[\overline{M_1O_1}+\overline{O_1O_2}+\overline{O_2M_2}]- \overline{O_1O_2}=\overline{M_1O_1}+\overline{O_2M_2}=-\overline{O_1M_1}+\overline{O_2M_2} = -\psi^1+\psi^2\)
Ces allongements sont algébriques :
Si \(\psi^2 > \psi^1 \Rightarrow (\psi^2 - \psi^1) > 0\Rightarrow\) le ressort est étiré et exerce sur la masse 2 une force vers la gauche, soit : \(-K (\psi^2 - \psi^1)\), et il exerce sur la masse 1 une force vers la droite, i.e. \(+K (\psi^2 - \psi^1)\).
De même :
Si \(\psi^2< \psi^1 \Rightarrow (\psi^2 - \psi^1) <0 \Rightarrow\) le ressort est comprimé et exerce sur la masse 2 une force vers la droite, soit encore : \(-K (\psi^2 - \psi^1)\) , et il exerce sur la masse 1 une force vers la gauche, i.e. \(+K (\psi^2 - \psi^1)\).
Faites attention aux signes chaque fois que vous mettez votre problème en équation.
On applique alors le PFD à chacune des masses
En projetant algébriquement sur D, et en posant \(\omega_0^2 =\frac{K}{m}\), on obtient respectivement :
\(\begin{array}{lll} m ~\ddot{\psi}^{1} = -K \psi^{1} + K (\psi^{2} - \psi^{1}) & \Rightarrow & \ddot{\psi}^{1} = \omega_{0}^{2} (-2 \psi^{1} + \psi^{2}) \\ m ~\ddot{\psi}^{2} = - K (\psi^{2} - \psi^{1}) & \Rightarrow & \ddot{\psi}^{2} = \omega_{0}^{2} (\psi^{1} - \psi^{2}) \end{array}\)
La matrice \(U\) du système : \(\ddot{\psi}=U.\psi\) est donc : \(U=\omega_0^2\left(\begin{array}{cc} -2&1 \\ 1&-1 \end{array} \right)\)
Les pulsations propres \(\omega_1\) et \(\omega_2\) sont déterminées par l'équation : \(\textrm{d\'et}(U+ \omega^2I)= 0\)
\(\Rightarrow \textrm{d\'et}\left(\begin{array}{cc} -2\omega_0^2+\omega^2 & \omega_0^2 \\ \omega_0^2 & -\omega_0^2+\omega^2\end{array}\right)=(-2\omega_0^2+\omega^2)(-\omega_0^2+\omega^2)- \omega_0^4=0\)
soit en développant : \(\omega^4-3\omega_0^2.\omega^2+\omega_0^4=0\Rightarrow \begin{array}{l} \omega_1^2=\omega_0^2.\frac{3+\sqrt5}{2} \\ \omega_2^2=\omega_0^2.\frac{3-\sqrt5}{2}\end{array}\)
La matrice diagonale en coordonnées \(\phi\) est : \(U_d=\omega_0^2\left(\begin{array}{cc} -\frac{3+\sqrt5}{2} &0 \\ 0& -\frac{3-\sqrt5}{2} \end{array} \right)\)
et les solutions en coordonnées \(\phi\) sont :
\(\phi_1=\left|\begin{array}{c} \phi^1 \\ 0 \end{array}\right|\) et \(\phi_2=\left|\begin{array}{c} 0 \\ \phi^2 \end{array}\right|\) avec \(\begin{array}{l} \phi^1=A^1\cos(\omega_1t+\alpha_1) \\ \phi^2=A^2\cos(\omega_2t+\alpha_2) \end{array}\)
Les "vecteurs propres" correspondants \(M_1=\left|\begin{array}{c} M_1^1 \\ M_1^2 \end{array}\right|\) et \(M_2=\left|\begin{array}{c} M_2^1 \\ M_2^2 \end{array}\right|\)
ne sont déterminés qu'à un coefficient multiplicatif près (pour cette raison, on les appelle plutôt : "direction propre").
L'une des composantes de ces vecteurs peut donc arbitrairement être posée égale à 1. Cette simplification des calculs ne poserait un problème que si, dans le mode considéré, cette composante était justement égale à zéro. Dans ce cas, on trouverait une impossibilité à résoudre le système, et il suffirait d'essayer cette solution particulière.
On va donc poser ici : \(M_1=\left|\begin{array}{c} 1 \\ M_1^2 \end{array}\right|\) et \(M_2=\left|\begin{array}{c} 1 \\ M_2^2 \end{array}\right|\)
et on résout alors : \(U.M_i=-\omega_i^2.M_i\)
soit : \(U\left|\begin{array}{c} 1 \\ M_2^2 \end{array}\right|=\omega_0^2 . \left(\begin{array}{cc} -2&1 \\ 1&-1 \end{array}\right) \left|\begin{array}{c} 1 \\ M_1^2 \end{array}\right| = -\omega_0^2 . \frac{3+\sqrt5}{2} \left|\begin{array}{c} 1 \\ M_1^2 \end{array}\right|\)
et \(U\left|\begin{array}{c} 1 \\ M_2^2 \end{array}\right|=\omega_0^2 . \left(\begin{array}{cc} -2&1 \\ 1&-1 \end{array}\right) \left|\begin{array}{c} 1 \\ M_2^2 \end{array}\right| = -\omega_0^2 . \frac{3-\sqrt5}{2} \left|\begin{array}{c} 1 \\ M_2^2 \end{array}\right|\)
On trouve alors en développant : \(M_1^2=\frac{1-\sqrt5}{2}\) et \(M_2^2=\frac{1+\sqrt5}{2}\)
Connaissant la matrice \(M = (M_1, M_2)\) et les modes propres en coordonnées \(\phi\) on en déduit la vibration \(\psi\) par la relation : \(\psi = M.\phi\)
soit : \(\psi=\left(\begin{array}{lll} A^1\cos(\omega_1t+\alpha_1)&+&A^2\cos(\omega_2t+\alpha_2) \\ \frac{1-\sqrt5}{2}A^1\cos(\omega_1t+\alpha_1)&+&\frac{1+\sqrt5}{2}A^2\cos(\omega_2t+\alpha_2) \end{array}\right)\)
La vibration générale peut s'exprimer : \(\psi = \psi_1 + \psi_2\), où \(\psi_1\) et \(\psi_2\) sont les modes propres : \(\psi_1=\left|\begin{array}{c} 1 \\ \frac{1-\sqrt5}{2}\end{array}\right|A^1\cos(\omega_1t+\alpha_1)\) et \(\psi_2=\left|\begin{array}{c} 1 \\ \frac{1+\sqrt5}{2}\end{array}\right|A^2\cos(\omega_2t+\alpha_2)\)
Remarquer que la vibration générale est une combinaison linéaire des modes propres, avec une "pondération" de chacun des modes définie par les coefficients \(A^1\), respectivement \(A^2\).