Oscillations libres non amorties

On notera :

• $a$ la distance entre les axes de vibrations de $2$ masses consécutives.

• $a_0$ la longueur au repos des ressorts (avec $a_0 < a$).

Hypothèse des petites oscillations :

• la longueur de tous les ressorts (au second ordre près) est égale à : $a$

• par conséquent : la norme de toutes les tensions (au second ordre près) est égale à : $T = K(a - a_0)$

La projection sur l'axe $\Psi$ du Principe Fondamental de la Dynamique donne $N$ équations :

$\begin{array}{lll} m . \ddot \Psi^1 & = & \frac{T}{a} \big( \Psi^2 - \Psi^1\big) - \frac{T}{a} \Psi^1 \\ ........... & ... & .................................................... \\ m . \ddot \Psi^n & = & \frac{T}{a} \big( \Psi^{n+1} - \Psi^n \big) - \frac{T}{a} \big( \Psi^n - \Psi^{n-1} \big) \\ ........... & ... & .................................................... \\ m . \ddot \Psi^N & = & \frac{T}{a} \big( - \Psi^N \big) - \frac{T}{a} \big( \Psi^N - \Psi^{N-1} \big) \end{array}$

qui expriment, dans un espace de dimension $N$, une relation entre le vecteur état $\Psi$ et sa dérivée seconde, soit :

Noter que, dans le système précédent, la première et la dernière équation se retrouvent à partir de l'équation de rang $n$ en posant respectivement :

$\Psi^0 = 0 ~~$ et $~~ \Psi^{N+1} = 0$ .

En ordonnant les équations précédentes selon l'exposant de $\Psi$ et en posant :

$\frac{T}{m.a} = \omega_0^2$

(homogène au carré d'une pulsation), on obtient la matrice $U$ qui caractérise ce système :

$U = \omega_0^2 . \left| \begin{array}{cccccccc} -2 & 1 & 0 & \mathrm{ }.\mathrm{ } & \mathrm{ }.\mathrm{ } & . & . & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . & . \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ . & . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & . & . & . & . & 0 & 1 & -2 \end{array} \right|$