Oscillations libres non amorties

Nous avons écrit la matrice $U$ telle que : $\ddot \Psi = U . \Psi$

avec : $U = \omega_0^2 . \left| \begin{array}{cccccccc} -2 & 1 & 0 & \mathrm{ }.\mathrm{ } & \mathrm{ }.\mathrm{ } & . & . & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . & . \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ . & . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & . & . & . & . & 0 & 1 & -2 \end{array} \right|$

La détermination des valeurs propres $\Omega^2$ du système nécessite la résolution de :

$\textrm{d\'et}[u_N] = \textrm{d\'et} \left[ \begin{array}{cccccccc} \Omega^2 - 2 & 1 & 0 & \mathrm{ }\mathrm{ }.\mathrm{ }\mathrm{ } & \mathrm{ }\mathrm{ }.\mathrm{ }\mathrm{ } & . & . & 0 \\ 1 & \Omega^2 - 2 & 1 & 0 & . & . & . & . \\ 0 & 1 & \Omega^2 - 2 & 1 & 0 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 0 & 1 & \Omega^2 - 2 & 1 & 0 \\ . & . & . & . & . & 1 & \Omega^2 - 2 & 1 \\ 0 & . & . & . & . & 0 & 1 & \Omega^2 - 2 \end{array} \right] = 0$

Le calcul direct des $\Omega^2$ étant impossible, nous allons faire appel à une série d'intermédiaires pour le mener à bien.

• On montre, en développant le déterminant ci-dessus par rapport à sa dernière ligne, que :

  $\textrm{d\'et} [u_N] = ( \Omega^2 - 2 ) . \textrm{d\'et} [u_{N - 1}] ~ - ~ \textrm{d\'et} [u_{N - 2}]$

• On écrit alors : $\textrm{d\'et} [u_{N-1}] = 1.\textrm{d\'et} [u_{N-1}] + 0.\textrm{d\'et} [u_{N-2}]$ ,

Ce qui s'exprime par la relation matricielle :

$\left[ \begin{array}{c} \textrm{d\'et}[u_N] \\ \textrm{d\'et}[u_{N-1}] \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ } -1 \\ 1 & \mathrm{ }0 \end{array} \right] ~ . ~ \left[ \begin{array}{c} \textrm{d\'et}[u_{N-1}] \\ \textrm{d\'et}[u_{N-2}] \end{array} \right]$

soit : $X_N = A ~ . ~ X_{N-1}$

• On applique alors le même processus pour $X_{N-1}$ et ainsi de suite jusqu'à

  $X_1 = \left[ \begin{array}{c} \textrm{d\'et}[u_1] \\ \textrm{d\'et}[u_0] \end{array} \right]$

Le terme $\textrm{d\'et}[u_0]$ n'a aucune signification physique (car $u_0$ serait la matrice du système dans le cas où il n'y aurait pas de masse).

Toutefois c'est un intermédiaire de calcul commode et on montre que :

$\textrm{d\'et} [u_0] = 1 ~~~~ \Rightarrow ~~ X_1 = \left[ \begin{array}{c} \Omega^2 - 2 \\ 1 \end{array} \right]$

On a alors : $X_N = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ }-1\mathrm{ } \\ 1 & \mathrm{ }0\mathrm{ }\end{array} \right] ^{N-1} . ~ X_1 = A^{N-1} . ~ X_1$

Or : $X_1 = \left[ \begin{array}{c} \Omega^2 - 2 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ }-1\mathrm{ } \\ 1 & \mathrm{ }0\mathrm{ }\end{array} \right] . \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$

En définissant $X_0$ par : $X_0 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ , on a donc : $X_1 = A . X_0$

D'où :

Il faut donc calculer $A^N$, pour pouvoir calculer $X_N$ , c'est-à-dire $\textrm{d\'et} [u_N]$.

On doit pour cela diagonaliser $A$. En faisant $\textrm{d\'et}[A - \lambda.I] = 0$, on trouve les valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ de $A$ :

$\lambda_1 = \frac{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big) ~ - ~ \sqrt{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big)^2 - ~ 4}}{2} ~~$ et $~~ \lambda_2 = \frac{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big) ~ + ~ \sqrt{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big)^2 - ~ 4}}{2}$

On appelle $A_d$ la matrice diagonale associée à $A$ telle que :

$A = S ~ . ~ \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right] ~ . ~ S^{-1} = S . A_d . S^{-1}$ ,

$S$ étant la matrice de changement de base permettant de diagonaliser $A$.

Les colonnes $S_1$ et $S_2$ sont formées des composantes des vecteurs propres associés aux valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$.

On trouve : $~~~~ S = \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1\end{array} \right] ~~$ et $~~ S^{-1} = \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} \left[ \begin{array}{cc} 1 & - \lambda_2 \\ - 1 & \lambda_1\end{array} \right] ~~$ si $\lambda_1 \ne \lambda_2$

On calcule alors :

$\begin{array}{lll} X_N & = & A^N . X_0 \\ & = & [S . A_d . S^{-1}]^N . X_0 \\ & = & S . [A_d]^N . S^{-1} . X_0 \\ & = & \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1\end{array} \right] . \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1^N & 0 \\ 0 & \lambda_2^N \end{array} \right] . \left[ \begin{array}{cc} 1 & - \lambda_2 \\ - 1 & \lambda_1\end{array} \right] . \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \end{array}$

$\Rightarrow ~~ X_N = A^N . \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] = \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1^{N+1} - \lambda_2^{N+1} \\ \lambda_1^N - \lambda_2^N \end{array} \right]$

$\Rightarrow ~~\textrm{d\'et}[u_N] = \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} (\lambda_1^{N+1} - \lambda_2^{N+1})$ ,

expression qu'il faut annuler pour déterminer les valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$.

Deux cas sont à envisager :

1. $( \Omega^2 - 2 )^2 - ~ 4 > 0 ~~~~$ $\Rightarrow ~~$ $\lambda_1$ et $\lambda_2$ réels et $\lambda_1 ~ \# ~ \lambda_2$

   Il est alors impossible d'annuler $\textrm{d\'et} [u_N]$ .

2. $( \Omega^2 - 2 )^2 - ~ 4 < 0 ~~~~$ $\Rightarrow ~~$ $\lambda_1$ et $\lambda_2$ complexes $~~ \Rightarrow ~ \Omega^2 < 4$ .

   On peut alors poser $\Omega^2 = 4 \sin^2 \theta$. Les valeurs propres s'écrivent alors :

   $\lambda_{1, 2} = \frac{2 . (2 \sin^2 \theta - 1) ~ \pm ~ 2.i. \sqrt{1 - (2 \sin^2 \theta - 1)^2}}{2} = - \cos (2 \theta) ~ \pm ~ i . \sin (2 \theta)$

   $\Rightarrow ~~$ $\lambda_1 = - \mathrm{e}^{2 . i . \theta}~~$ et $~~ \lambda_2 = - \mathrm{e}^{-2 . i . \theta}$

   $\begin{array}{lll} \textrm{d\'et}[u_N] = 0 & \Rightarrow & \lambda_1^{N+1} = \lambda_2^{N+1} \\ & \Rightarrow & \sin \big( 2 (N+1) \theta \big) = 0 \\ & \Rightarrow & \theta_p = \frac{p . \pi}{2 . (N+1)} \end{array}$

   d'où : $\Omega_p^2 = 4 . \sin^2 \Big( \frac{p . \pi}{2 . (N+1)} \Big)$

Il reste maintenant à déterminer les vecteurs propres associés à ces valeurs propres. Pour le p-ième mode, on doit résoudre le système :

$\begin{array}{lc} ( -2 + \Omega_p^2 ) . M_p^1 + M_p^2 = 0 & (1) \\ M_p^{i-1} + ( -2 + \Omega_p^2 ) . M_p^i + M_p^{i+1} = 0 \mathrm{ } \mathrm{ } & (2) \\ M_p^{N-1} + ( -2 + \Omega_p^2 ) . M_p^N = 0 & (3) \end{array}$

avec : $~~ -2 + \Omega_p^2 = - 2 \cos (2 \theta_p)$

Posons : $M_p^1 = \sin(2 \theta_p)$

Alors, $(1)$ donne : $~~ - 2 \cos(2 \theta_p) . \sin (2 \theta_p) + M_p^2 = 0 ~~~~ \Rightarrow ~~ M_p^2 = \sin (4 \theta_p)$

On montre par récurrence que : $M_p^n = \sin (2.n. \theta_p)$

D'où la solution : $~~~~ \left| \begin{array}{l} \Psi^1 \\ \Psi^2 \\ ... \\ \Psi^N \end{array} \right| = \displaystyle{\sum_{p = 1}^N} \left| \begin{array}{l} \sin (2 \theta_p) \\ \sin (4 \theta_p) \\ ... \\ \sin (2.N.\theta_p) \end{array} \right| ~.~ a^p . \cos (\Omega_p . t + \alpha_p)$

avec $~~~~ \Omega_p = 2 . \omega_0 . \sin \theta_p ~~$ et $~~ \theta_p = \frac{p . \pi}{2.(N+1)}$