Résultats
Dans le cadre des approximations effectuées, le système est décrit par une matrice \(U\) de rang \(N\), dont on sait trouver vecteurs propres et valeurs propres.
La démonstration est reportée sur la page "Annexe" de ce chapitre.
Pour un système dont les extrémités sont fixes, on trouve :
En posant : \(\omega_0 = \sqrt{\frac{T}{m . a}}\) ,
\(L = (N+1) . a = \textrm{Longueur totale du syst\^eme}\) ,
\(K_p = \frac{p . \pi}{(N + 1) . a} = \frac{p . \pi}{L} = p . K_1 ~~\) avec \(K_1 = \frac{\pi}{L}\) :
\(\begin{array}{lll} \omega_p & = & 2 . \omega_0 . \sin \bigg[ \frac{p . \pi}{2 . (N + 1)} \bigg] \\ & = & 2 . \omega_0 . \sin \bigg[ K_p . \frac{a}{2} \bigg] \end{array}\)
Cette relation \(\omega(K)\) est appelée relation de dispersion de la vibration dans le milieu considéré.
Mode propre de rang p :
\(M_p = \left| \begin{array}{c} \sin \Big[ \frac{p . \pi}{(N + 1)} \Big] \\ ......\\ \sin \Big[ n . \frac{p . \pi}{(N + 1)} \Big] \\ ...... \\ \sin \Big[ N . \frac{p . \pi}{(N + 1)} \Big] \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c} \sin \big[ K_p.a \big] \\ ......\\ \sin \big[ n.K_p.a \big] \\ ...... \\ \sin \big[ N.K_p.a \big] \end{array} \right|\)
Remarque :
Pour un système caractérisé par d'autres conditions aux limites (par exemple : extrémités libres), on pourrait de la même façon déterminer ses pulsations propres et ses vecteurs propres, ce qui conduirait évidemment à des résultats différents de ceux trouvés ci-dessus.