Représentations en fréquence

1-

$f(\omega)=A$ pour $\omega\in\left[\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2} ; \omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}\right]$

$f(\omega)=0$ pour $\omega\notin\left[\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2} ; \omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}\right]$

D'une manière générale, pour exprimer la propagation $\psi(z,t)$ de la fonction $F(t)$ dont $f(\omega)$ est le spectre, en notation complexe, il faut :

- exprimer la fonction $F$ sur la base des fonctions exponentielles [$f(\omega)$ représente la composante de $F$ à la valeur $\omega$], i.e. :

$F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\omega).e^{+i\omega t}d\omega$

exprimer la propagation des fonctions de base $e^{+i\omega t}$ à la valeur $\omega$, i.e : $e^{i(\omega t -K(\omega)z)}$

d'où l'on déduit qu'une fonction dont la densité d'amplitude vaut $f(\omega)$ en $\omega$ se propagera selon l'expression : $f(\omega)e^{i(\omega t -K(\omega)z)}$

exprimer la fonction représentant la propagation de $F$ sur la base des fonctions de base "propagées"

$\psi(z,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\omega)e^{i(\omega t-K(\omega)z)}d\omega$

Cette expression signifie que la fonction $F$ représente la source située en $z=0$, [car : $\psi(z=0, t) = F(t)$] , de la vibration qui se propage dans la direction et le sens de l'axe $z$.

$F(t)=A\int_{\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2}}^{\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}}e^{+i\omega t}d\omega=\frac{A}{it}\left(e^{i(\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2})t}-e^{i(\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2})t}\right)$

$=\frac{2A}{t}e^{+i\omega_0t}\sin\frac{\Delta\omega}{2}t$

soit : $F(t)=A\Delta\omega\frac{\sin\frac{\Delta\omega}{2}t}{\frac{\Delta\omega}{2}t}e^{+i\omega_0t}=A\Delta\omega\frac{\sin u}{u}e^{i\omega_0t}$ avec $u= \frac{\Delta\omega}{2}t$

Bien que l'on connaisse cette expression de $F(t)$ il est nécessaire d'exprimer $F$ sur les fonctions de base (fonctions de $\omega$) car, dans le cas général, la propagation n'est pas une simple translation de $F$, et la vitesse de propagation : $V(\omega) = \frac{\omega}{K(\omega)}$ est fonction de $\omega$. Dans le cas particulier où la vitesse (définie par ce rapport) ne dépend pas de $\omega$, on dit que le milieu est non-dispersif.

Le milieu étant ici dispersif : $\psi(z,t)=A\int_{\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2}}^{\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}}e^{i(\omega t-K(\omega)z)}d\omega$

2-

$K(\omega)=K(\omega_0)+\delta\omega\left(\frac{dK}{d\omega}\right)_{(\omega=\omega_0)}+(\delta\omega)^2\left( \frac{d^2K}{d\omega^2}\right)_{(\omega=\omega_0)}+...$

$\Rightarrow \frac{K(\omega)}{\omega_0}=\frac{K(\omega_0)}{\omega_0}+\varepsilon\left(\frac{dK}{d\omega}\right)_{(\omega=\omega_0)}+\varepsilon^2\omega_0\left( \frac{d^2K}{d\omega^2}\right)_{(\omega=\omega_0)}+...$

L'écart $\delta\omega=\omega-\omega_0$ est au maximum égal à la largeur totale de bande : $\Delta\omega$

Si $\Delta\omega<< \omega_0$, $\varepsilon$ sera petit devant $1$, et on aura en négligeant les termes d'ordre supérieur à $2$ :

$\frac{k(\omega)}{\omega_0}\approx\frac{K(\omega_0)}{\omega_0}+\varepsilon\left(\frac{dK}{d\omega}\right)_{(\omega=\omega_0)}\Rightarrow k(\omega)\approx K(\omega_0)+\frac{\varepsilon\omega_0}{V_g}=K_0+\frac{\delta\omega}{V_g}$

en posant : $K(\omega_0)=K_0$ et $V_g=\frac{d\omega}{dK}$ vitesse de groupe de l'onde.

3-

Avec cette expression de $K(\omega)$, la fonction $\psi(z,t)$ représentant la propagation s'exprime :

$\psi(z,t)=A . \int_{\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2}}^{\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}}e^{i(\omega t-K(\omega)z)}d\omega=\psi(z,t)=A . \int_{\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2}}^{\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}}e^{i[(\omega_0+\delta\omega)t-(K_0+\frac{\delta\omega}{V_g})z]}d\omega$

On pose $\omega-\omega_0=\delta\omega=\alpha$ comme nouvelle variable d'intégration :

$\omega\in\left[\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2} ; \omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}\right]\Rightarrow \alpha\in\left[-\frac{\Delta\omega}{2} ;+\frac{\Delta\omega}{2}\right]$

$\psi(z,t)=A . \int_{-\frac{\Delta\omega}{2}}^{+\frac{\Delta\omega}{2}}e^{i[(\omega_0+\alpha)t-(K_0+\frac{\alpha}{V_g})z]}d\alpha=A . e^{i(\omega_0t-K_0z)}\int_{-\frac{\Delta\omega}{2}}^{+\frac{\Delta\omega}{2}}e^{i\alpha(t-\frac{z}{V_g})}d\alpha$

$\psi(z,t)=\frac{2A}{t-\frac{z}{V_g}} . e^{i(\omega_0t-K_0z)} . \sin\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_g})=A . \Delta\omega . e^{i(\omega_0t-K_0z)} . \frac{\sin{\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_g})}}{\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_g})}$

Remarques :

remarques 1 :

Le traitement effectué ici suppose que le milieu est faiblement dispersif, i.e. que les dérivées successives $\left(\frac{d^nK}{d\omega^n}\right)_{(\omega=\omega_0)}$ ont une faible valeur et que les termes correspondants sont négligeables par rapport au terme contenant la dérivée d'ordre $1$. Si, de plus, la bande $\Delta\omega$ est étroite par rapport à $\omega_0$, la vibration : $F(t)=A . \Delta\omega . \frac{\sin\frac{\Delta\omega}{2}t}{\frac{\Delta\omega}{2}t} . e^{+i\omega_0t}$ dont on ne considère que la partie réelle :

$\Re(F(t))=A . \Delta\omega . \frac{\sin\frac{\Delta\omega}{2}t}{\frac{\Delta\omega}{2}t} . \cos(\omega_0t)$ se propage donc selon la partie réelle de $\psi(z,t)$, soit : $A . \Delta\omega . \frac{\sin\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_g})}{\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_g})} . \cos(\omega_0t-K_0z)$

Dans cette expression :

le facteur en $\frac{\sin u}{u}$ représentant l'enveloppe, est une fonction de ($t-\frac{z}{V_g}$) : l'enveloppe se propage donc à la vitesse $V_g$ (vitesse de groupe).

le facteur $\cos[\omega_0t-K_0z]$ de pulsation $\omega_0$ (pulsation moyenne de l'intervalle $\Delta\omega$) représentant les oscillations à l'intérieur de l'enveloppe, se propage à la vitesse $V_0=\frac{\omega_0}{K_0}$ (vitesse de phase).

remarque 2 :

Si la dispersivité est plus grande, on montre en faisant intervenir les termes d'ordre supérieur du développement de $K(\omega)$, que la propagation de l'enveloppe n'est plus une simple translation : sa forme peut se modifier pendant la propagation (étalement du paquet d'onde).

remarque 3 :

Si le milieu n'est pas du tout dispersif, les vitesses : $V_g=\frac{d\omega}{dK}$ et $V_0=\frac{\omega}{K}$ sont égales. Dans ce cas, l'oscillation et son enveloppe se propagent à la même vitesse, soit :

$A . \Delta\omega . \frac{\sin\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_0})}{\frac{\Delta\omega}{2}(t-\frac{z}{V_0})} . \cos[\omega_0t-K_0z]$

remarque 4 :

Au lieu de la fonction $F$ considérée ici, dont le spectre continu $f(\omega)$ est compris entre 2 pulsations : $\omega_1=\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2}$ et $\omega_2=\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}$, si on considère la fonction somme de 2 cosinus de pulsations différentes, respectivement $\omega_1$ et $\omega_2$.