La densité radiale
La densité volumique de probabilité de présence est donnée par \(\mid\Psi(\textrm r,\theta,\phi)\mid^2\) . Elle donne en chaque point de l'espace la densité du nuage représentant l'électron. La probabilité élémentaire de présence dans un volume infinitésimal \(\textrm{dV}\) situé en (\(\textrm r, \theta, \phi\) ), est alors :
\(\mathbf{\textrm dP=\mid\Psi(r,\theta,\phi)\mid^2.\textrm dV=\mid\Psi(r,\theta,\phi)\mid^2.r^2.\sin\theta.\textrm dr.\textrm d\theta.\textrm d\phi}\)
En faisant circuler l'élément de volume \(\textrm{dV}\) (en rouge sur l'illustration ci-contre) à distance \(\textrm r\) constante, en faisant varier les angles \(\theta\) et \(\phi\), on peut reconstruire une enveloppe sphérique d'épaisseur \(\textrm{dr}\) que l'on a représenté en bleu en y ménageant une ouverture.
Le calcul de la probabilité élémentaire de présence dans cette enveloppe \(\mathrm{dP_r}\) revient alors à intégrer \(\textrm{dP}\) sur les angles :
\(\mathbf{\textrm dP_r=\displaystyle{\int^\pi_{\theta=0}}\displaystyle{\int^{2.\pi}_{\phi=0}}\textrm dP}\)
On peut réécrire cette expression en décomposant l'orbitale :
\(\mathbf{\textrm dP_r=R^2_{n l}(r).r^2.\textrm dr.\displaystyle{\int^\pi_0}\Theta^2_{l m}(\theta).\sin\theta.\textrm d\theta.\displaystyle{\int^{2.\pi}_0}\Phi^2_m(\phi).\textrm d\phi}\)
Compte tenu de la pseudo-normalisation des fonctions angulaires, il vient finalement :
\(\mathbf{\textrm dP_r=R^2_{n l}(r).r^2.\textrm dr=D_{n l}(r).\textrm dr}\)
\(\mathrm{D_{n l}(r)}\) est la densité radiale ou densité de probabilité de présence sur une sphère de rayon \(\mathrm{r}\).