Substitution des orbitales réelles aux orbitales complexes

La dégénérescence énergétique des états quantiques de l'électron permet de s'affranchir du caractère complexe des fonctions de nombre quantique magnétique non nul.

Prenons le cas des orbitales \(2\textrm p\). Parmi ces trois orbitales, deux sont complexes : les orbitales \(2\textrm p_{-1}\) et \(2\textrm p_{+1}\). Elles ont en commun d'être solution de l'équation de Schrödinger de même énergie \(\textrm E_2\).

\(\mathbf{\hat H 2\textrm p_{-1}=E_2.2\textrm p_{-1}}    \textrm{et}    \mathbf{\hat H 2\textrm p_{+1}=E_2.2\textrm p_{+1}}\)

Considérons une combinaison \(\varphi_+\) de ces deux orbitales :

\(\varphi_+=\frac{1}{\sqrt2}.(2\textrm p_{-1}+2\textrm p_{+1})\)

Cette combinaison peut s'écrire sous la forme :

\(\varphi_+=\mathrm{A(r).\sin\theta.\cos\phi}\)

La composante en \(\phi\) est devenue réelle.

Cette fonction se comporte angulairement comme \(\mathrm{x=r.\sin\theta .\cos\phi}\) , on appelle cette fonction l'orbitale \(2\mathrm{p_x}\).

Elle est aussi solution de l'équation de Schrödinger de même énergie \(\mathrm{E_2}\).

\(\mathrm{\hat H \varphi_+=E_2.\varphi_+}\)

De même, si on prend la combinaison \(\varphi_-\):

\(\varphi_-=\frac{1}{\textrm i.\sqrt2}.(2\textrm p_{-1}-2\textrm p_{+1})\)

On obtient une expression de la forme :

\(\mathrm{\varphi_-=A(r).\sin\theta.\sin(\phi)}\)

Cette orbitale composite est aussi réelle et sa partie angulaire se comporte comme \(\mathrm{y=r.\sin\theta.\sin\phi}\) .

On l'appelle donc orbitale \(2\textrm p_y\).

Elle est aussi solution de l'équation de Schrödinger d'énergie \(\mathrm{E_2}\).

\(\mathrm{\hat H \varphi_-=E_2.\varphi_-}\)

On peut alors remplacer les deux fonctions complexes \(2\textrm p_{-1}\) et \(2\textrm p_{+1}\) par ces deux nouvelles orbitales \(2\textrm p_x\) et \(2\textrm p_y\).

Cependant, ayant mélangé des fonctions de nombre quantique magnétique distincts -1 et +1, on obtient des fonctions qui ne sont plus caractérisées que par \(\textrm n\), \(\textrm l\) et la valeur absolue de \(\textrm m\).

La fonction \(2\textrm p_0\) est réelle et sa partie angulaire varie comme \(\textrm z\). On l'appelle \(2\textrm p_z\).

Pour décrire la sous couche \(2\textrm p\), on dispose donc de trois fonctions réelles \(2\textrm p_x, 2\textrm p_y \textrm{et} 2\textrm p_z\).