Orthogonalité des orbitales moléculaires
Durée : 5 mn
Note maximale : 3
Question
Montrer que les deux premières orbitales moléculaires de la molécule\(\textrm{H}_{2}\), obtenues dans l'approximation LCAO, sont orthogonales.
On donne :
\(\sigma_{g} = \textrm{N}(1s_{\textrm{A}} + 1s_{\textrm{B}})\) \(\qquad\) \(\sigma_{u} = \textrm{M}(1s_{\textrm{A}} - 1s_{\textrm{B}})\)
Solution
On évalue l'intégrale de recouvrement entre les orbitales moléculaires :\(\qquad\) \(\substack{\textrm{espace}}{\int}\sigma_{g}\sigma_{u}\textrm{dv}\)
Il vient :
\(\substack{\textrm{espace}}{\int}\sigma_{g}\sigma_{u}\textrm{dv} = \textrm{NM}\substack{\textrm{espace}}{\int}(1s_{\textrm{A}} + 1s_{\textrm{B}})(1s_{\textrm{A}} - 1s_{\textrm{B}})\textrm{dv}\)
\(= \textrm{NM}\bigg[\substack{\textrm{espace}}{\int}(1s_{\textrm{A}})^{2}\textrm{dv} - \substack{\textrm{espace}}{\int}(1s_{\textrm{B}})^{2}\textrm{dv} -\substack{\textrm{espace}}{\int}1s_{\textrm{A}}1s_{\textrm{B}} \textrm{dv} + \substack{\textrm{espace}}{\int}1s_{\textrm{B}}1s_{\textrm{A}} \textrm{dv}\bigg]\)
Les deux premières intégrales sont les normes des orbitales atomiques, égale à un par définition. Les deux dernières intégrales sont égales à l'intégrale de recouvrement S entre les orbitales atomiques. Il vient donc :
\(\substack{\textrm{espace}}{\int}\sigma_{g}\sigma_{u}\textrm{dv} = \textrm{NM} \big[1-1-s+s\big] = 0\)
Les deux orbitales moléculaires sont bien orthogonales.