Symétrie g et u
Durée : 15 mn
Note maximale : 8
Question
On considère l'ion moléculaire\(\textrm{H}_{2}^{+}\)ou la molécule\(\textrm{H}_{2}\). Les deux noyaux des atomes d'hydrogène A et B sont placés sur l'axe Oz, en\(z_{\textrm{A}}\)= 1 Bohr et \(z_{\textrm{B}}\)= -1 Bohr.
On donne l'expression en unité atomique des orbitales 1s des atomes d'hydrogène A et B :
\(1s_{\textrm{A}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\exp(-r_{\textrm{A}})\) \(\qquad\) \(1s_{\textrm{B}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\exp(-r_{\textrm{B}})\)
avec
\(r_{\textrm{A}} =\sqrt{(x-x_{\textrm{A}})^{2} + (y-y_{\textrm{A}})^{2} + (z-z_{\textrm{A}})^{2}}\)
\(r_{\textrm{B}} =\sqrt{(x-x_{\textrm{B}})^{2} + (y-y_{\textrm{B}})^{2} + (z-z_{\textrm{B}})^{2}}\)
Montrer que les combinaisons\(\sigma_{g} = \textrm{N}(1s_{\textrm{A}} + 1s_{\textrm{B}})\)et\(\sigma_{u} = \textrm{M}(1s_{\textrm{A}} - 1s_{\textrm{B}})\)sont respectivement symétrique et antisymétrique par rapport au centre d'inversion placé à l'origine du repère.
Solution
On écrit les distances caractéristiques\(r_{\textrm{A}}\)et\(r_{\textrm{B}}\):
\(r_{\textrm{A}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (z-1)^{2}}\)
\(r_{\textrm{B}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (z+1)^{2}}\)
On compare les orbitales moléculaires en\((\textrm{-x, -y, -z})\)et en\( (\textrm{x,y,z})\).
En \((\textrm{-x, -y, -z})\) :
\(r_{\textrm{A}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (-z-1)^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (z+1)^{2}} = r_{\textrm{B}}\)
\(r_{\textrm{B}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (-z+1)^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + (z-1)^{2}} = r_{\textrm{A}}\)
Il vient alors :
\(1s_{\textrm{A}}(\textrm{-x, -y, -z}) = 1s_{\textrm{B}}(\textrm{x, y, z})\)
\(1s_{\textrm{B}}(\textrm{-x, -y, -z}) = 1s_{\textrm{A}}(\textrm{x, y, z})\)
Soit :
\(\sigma_{g}(\textrm{-x, -y, -z}) = \textrm{N}\big[1s_{\textrm{B}}(\textrm{x, y, z})+1s_{\textrm{A}}(\textrm{x, y, z})\big] = \sigma_{g}(\textrm{x, y, z})\)
Cette orbitale est bien symétrique par rapport au centre d'inversion.
\(\sigma_{u}(\textrm{-x, -y, -z}) = \textrm{N}\big[1s_{\textrm{B}}(\textrm{x, y, z})-1s_{\textrm{A}}(\textrm{x, y, z})\big] = -\sigma_{u}(\textrm{x, y, z})\)
Cette orbitale est bien antisymétrique par rapport au centre d'inversion.