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Propriétés topologiques

Les intervalles de jouent un rôle fondamental dans l'étude des fonctions numériques (fonctions de vers ), tant du point de vue global (ensemble de définition) que local (voisinage): ce sont les parties connexes, c'est à dire d'un seul tenant, de .

Définition

Une partie de est un intervalle si

.

La propriété de la borne supérieure (resp. inférieure) permet de classer les intervalles non vides de en 9 types distincts suivant l'existence ou non d'un majorant, d'un minorant, d'un plus grand, d'un plus petit élément.

On montre ainsi qu'un intervalle non vide de est d'un des types suivants :

Explication
  1. intervalle borné :

    • ouvert :

    • semi-ouvert :

    • fermé :

  2. intervalle non borné :

    • minoré, non majoré :

      • avec minimum

      • sans minimum

    • majoré, non minoré :

      • avec maximum

      • sans maximum

    • non minoré, non majoré :

Par exemple, on peut montrer qu'un intervalle borné ayant un plus petit élément mais pas de plus grand élément est de la forme .

Preuve

Soit un tel intervalle, son plus petit élément, sa borne supérieure, alors

  • tout réel vérifiant n'appartient pas à ,

  • tout réel vérifiant n'appartient pas à ,

l'intervalle est inclus dans , et tout de appartient à .

Les intervalles et , ( ) peuvent être encore définis de la façon suivante :

Le réel est le centre de l'intervalle, est le rayon. Cette définition de l'intervalle , sera très souvent utilisée, en particulier, dans l'étude des suites et des fonctions.

Les propriétés locales font appel à la notion de voisinage d'un point.

Définition

Soit , on dit que est intérieur à un intervalle s'il existe un intervalle ouvert contenant et inclus dans . On appelle voisinage de toute partie de qui contient un intervalle ouvert contenant . On appelle voisinage de (resp. ) toute partie de qui contient un intervalle de la forme avec , (resp. avec ). On dit qu'une propriété est réalisée au voisinage d'un point s'il existe un voisinage du point dans lequel cette propriété est vérifiée .

Pratiquement on prendra pour voisinage de , les intervalles ouverts contenant (fréquemment les intervalles ouverts centrés en ) et pour voisinage de (resp. ) les intervalles , (resp. ).

Si est un voisinage de , on note , voisinage épointé de a .

Théorème

est dense dans .

(entre deux nombres réels distincts et , il existe un rationnel)

Preuve

Ceci peut être démontré en utilisant une approximation décimale de .

Soient et deux réels, vérifiant ; on pose ,

  • si est rationnel, il convient car il vérifie ,

  • si n'est pas rationnel, soit tel que ; le réel admet une approximation décimale à près par défaut et l'on a : , avec .

    Le rationnel convient donc.

On montre de même que \ (ensemble des nombres irrationnels) est dense dans .

Légende :
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