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Propriété d'Archimède. Partie entière et approximations décimales d'un réel

Parmi les rationnels, les décimaux ont un rôle pratique important, leur intérêt est d'approcher les réels d'aussi près que l'on veut, ce qui permet les calculs sur les réels.

Définition

Un réel est un nombre décimal s'il existe tel que .

Exemple

On écrit .

Cette écriture décimale signifie : .

En revanche n'est pas un décimal.

On note l'ensemble des décimaux; on a l'inclusion:

,

mais attention n'est pas un corps: 3 est un décimal mais non 1/3.

Le théorème suivant exprime l'équivalence entre quatre propriétés, la première, dite propriété d'Archimède, exprime le fait que tout réel peut être "dépassé" par les multiples d'un réel positif quelconque.

Théorème

est un corps archimédien , c'est à dire qu'il satisfait à l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :

  1. étant donné deux réels strictement positif, il existe un entier tel que ;

  2. étant donné un réel il existe un entier tel que ;

  3. étant donné un réel positif y il existe un entier n unique tel que ; l'entier est la partie entière de notée ou .

  4. étant donné un réel positif et un entier , il existe un décimal unique, tel que

    est l'approximation décimale d'ordre ou à près par défaut de .

Preuve

On démontre les implications , , , ; puis on montre 1. par l'absurde.

 : il suffit de prendre .

 : soit , d'après 2. l'ensemble est fini et admet donc un plus grand élément, soit , vérifie donc .

Soit , l'entier défini par : .

convient.

La partie entière d'un réel est le plus grand entier inférieur ou égal à .

Attention

Attention et non -3 (comme l'indique la fonction Int de certaines calculettes).

Preuve : retour à la preuve

 : soit un réel, est un réel qui admet donc une partie entière , celle-ci vérifie ;

d'où, si l'on pose ,

et  .

 : soit , et , en appliquant 4. à avec , il existe un entier qui vérifie , d'où .

On montre alors 1. par l'absurde. Supposons que, pour tout entier on ait ; soit ; est non vide et majorée, elle admet une borne supérieure . On a donc, pour tout entier , et il existe tel que: d'où , or appartient à , on a donc une contradiction.

La propriété d'Archimède, est dans une conséquence de la propriété de la borne supérieure; toutefois elle n'est pas caractéristique de , est également archimédien mais ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure.

On remarque que, dans les calculs numériques, lorsqu'on "approche" 1/3 par 0,33, cela correspond à la double inégalité:

;

0,33 est l'approximation décimale d'ordre 2 (ou à près) par défaut de 1/3, tandis que 0,34 est l'approximation par excès.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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