Propriété d'Archimède. Partie entière et approximations décimales d'un réel
Parmi les rationnels, les décimaux ont un rôle pratique important, leur intérêt est d'approcher les réels d'aussi près que l'on veut, ce qui permet les calculs sur les réels.
Définition :
Un réel \(d\) est un nombre décimal s'il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \(10^kd \in\mathbb Z\).
Exemple :
On écrit \(\frac{1}{4}=0,25\).
Cette écriture décimale signifie : \(\frac{1}{4} =\frac{2}{10}+\frac{5}{100}=\frac{25}{100}\).
En revanche \(\frac{1}{3}\) n'est pas un décimal.
On note \(D\) l'ensemble des décimaux; on a l'inclusion:
\(D\subset \mathbb Q\subset \mathbb R\),
mais attention \(D\) n'est pas un corps: 3 est un décimal mais non 1/3.
Le théorème suivant exprime l'équivalence entre quatre propriétés, la première, dite propriété d'Archimède, exprime le fait que tout réel peut être "dépassé" par les multiples d'un réel positif quelconque.
Théorème :
\(\mathbb R\) est un corps archimédien , c'est à dire qu'il satisfait à l'une des quatre propriétés équivalentes suivantes :
étant donné deux réels \(y \textrm{ et }x, x\) strictement positif, il existe un entier \(n\in\mathbb N^*\) tel que \(y\leq nx\);
étant donné un réel \(y\) il existe un entier \(n\in\mathbb N\) tel que \(y\leq n\);
étant donné un réel positif y il existe un entier n unique tel que \(n\leq y< n+1\); l'entier \(n\) est la partie entière de \(y\) notée \(E(y)\) ou \([y]\).
étant donné un réel positif \(y\) et un entier \(k\), il existe un décimal \(y_k\) unique, tel que
\(10^k y_k\in\mathbb Z \textrm{ et }y_k\leq y<y_k+10^{-k}\)
\(y_k\) est l'approximation décimale d'ordre \(k\) ou à \(10 ^{-k}\) près par défaut de \(y\).
Preuve :
On démontre les implications \(1.\Rightarrow2.\), \(2.\Rightarrow3.\), \(3.\Rightarrow4.\), \(4.\Rightarrow1.\); puis on montre 1. par l'absurde.
\(1.\Rightarrow2.\) : il suffit de prendre \(x=1\).
\(2.\Rightarrow3.\) : soit \(y\in\mathbb R_+^*\), d'après 2. l'ensemble \(\{p\in \mathbb N, p\le y\}\) est fini et admet donc un plus grand élément, soit \(n\), \(n\) vérifie donc \(n\le y<n+1\).
Soit \(y\in\mathbb R_-\), l'entier \(E(y)\) défini par : \({E(y)=\left\{\begin{array}{ll} -E(-y)-1 & \textrm{si} y \notin\mathbb Z,\\-E(-y)&\textrm{si} y\in\mathbb Z\end{array}\right.}\).
convient.
La partie entière d'un réel \(x\) est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\).
Attention :
Attention \([-\pi]=-4\) et non -3 (comme l'indique la fonction Int de certaines calculettes).
Preuve : retour à la preuve
\(3.\Rightarrow4.\) : soit \(y\) un réel, \(10^ky\) est un réel qui admet donc une partie entière \([10^ky]\), celle-ci vérifie \([10^ky] \le10^ky < [10^ky] + 1\) ;
d'où, si l'on pose \(y_k =\frac{[10^ky]}{10^k}\) ,
\(10^k y_k\in\mathbb Z\) et \(y_k\le y < y_k +10^{-k}\).
\(4.\Rightarrow1.\) : soit \(y\in\mathbb R\), et \(x\in\mathbb R_+^*\), en appliquant 4. à \(y/x\) avec \(k=0\), il existe un entier qui vérifie \(u\le\frac{y}{x}<u+1\), d'où \(x<(u+1)y\).
On montre alors 1. par l'absurde. Supposons que, pour tout entier \(n\) on ait \(y>nx\); soit \(A=\{nx, n\in\mathbb N^*\}\); \(A\) est non vide et majorée, elle admet une borne supérieure \(\alpha>0\). On a donc, pour tout entier \(n\), \(ny\le\alpha\) et il existe \(p\) tel que: \(\frac{\alpha}{2}<py\le\alpha\) d'où \(2py>\alpha\) , or \(2py\) appartient à \(A\), on a donc une contradiction.
La propriété d'Archimède, est dans \(\mathbb R\) une conséquence de la propriété de la borne supérieure; toutefois elle n'est pas caractéristique de \(\mathbb R\), \(\mathbb Q\) est également archimédien mais ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure.
On remarque que, dans les calculs numériques, lorsqu'on "approche" 1/3 par 0,33, cela correspond à la double inégalité:
\(0,33\leq\frac{1}{3}\leq0,34=0,33+10^{-2} \);
0,33 est l'approximation décimale d'ordre 2 (ou à \(10^{-2}\) près) par défaut de 1/3, tandis que 0,34 est l'approximation par excès.