Majorants, minorants
On désigne par \(A\) une partie non vide de \(\mathbb R\).
Définition :
On dit qu'un réel \(a\) est un majorant de \(A\) si tout élément de \(A\) est inférieur ou égal à \(a\) .
\(a\) majorant de \(A\) équivaut à :\( \forall x\in A,x\leq a\)
On dit que \(A\) est majorée si \(A\) admet un majorant (elle en admet alors une infinité). On définit de même un minorant, une partie minorée.
\(A\) est bornée si \(A\) est majorée et minorée.
Remarque :
Une partie non vide de \(\mathbb{R}\) n'a pas toujours de majorant; lorsqu'elle en a un, elle en admet une infinité.
Exemple :
a. Soit \(A=\{x\in\mathbb R, x=1+\frac{1}{n}, n\in\mathbb N^*\}\) , 2, 3, sont des majorants de \(A\); 0,1 des minorants de \(A\). \(A\) est donc une partie bornée de \(\mathbb R\). On remarque que 2, majorant de \(A\), appartient à \(A\).
b. Soit \(B=\{x\in\mathbb R, x=ln(1+n), n\in\mathbb N\}\); -10, 0 sont des minorants de \(B\); \(B\) est une partie minorée de \(\mathbb R\) mais \(B\) n'est pas majorée (il existe des éléments de \(B\) arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de \(B\) qui appartient à \(B\).
Définition :
On dit qu'un réel \(a\) est plus grand élément (ou maximum) de \(A\) si a appartient à \(A\) et est un majorant de \(A\) .
\(a\) plus grand élément de \(A\) équivaut à :
\(\displaystyle{a\in A\textrm{ et }}\)
\(\displaystyle{\forall x\in A,x\leq a}\)
On définit de même la notion de plus petit élément (ou minimum).
Remarque :
une partie majorée (resp. minorée) n'a pas nécessairement de plus grand (resp. petit) élément.
Exemple :
On reprend les exemples précédents :
\(A=\{x\in\mathbb R, x=1+\frac{1}{n}, n\in\mathbb N^*\}\), \(B=\{x\in\mathbb R, x=ln(1+n), n\in\mathbb N\}\)
2 est le plus grand élément de \(A\), 0 le plus petit élément de \(B\). 1 est un minorant de \(A\) qui n'appartient pas à \(A\), mais qui est tel que tout nombre supérieur à 1 n'est pas minorant de \(A\), ce qu'on traduit par :
\(\forall\varepsilon>0, \exists n \in \mathbb N^*, 1+\frac{1}{n}<1+\varepsilon\),
il suffit de prendre \(n>1/\varepsilon\) . Ainsi si \(\varepsilon=10^{-10}\) on prend par exemple \(n=10^{10} +1\).
Propriété :
Si \(A\) a un plus grand (resp. petit) élément celui-ci est unique.
Preuve :
On aurait sinon \(a\leq b \textrm{ et }b\leq a\), d'où \(a=b\).
On note alors \(max \;A\) (resp. \(min \;A\) ) le plus grand (resp. petit) élément de \(A\).