Borne supérieure, borne inférieure
Quand une partie \(A\) non vide de \(\mathbb R\) est majorée, elle admet une infinité de majorants, et si \(a\) est un majorant de \(A\), tout réel supérieur à \(a\) est majorant de \(A\). Il est donc naturel de s'intéresser à l'existence éventuelle d'un plus petit majorant. C'est ce concept de plus petit majorant que l'on va formaliser en exprimant que tout réel qui lui est strictement inférieur n'est pas majorant.
Définition :
Si l'ensemble des majorants (resp. minorants ) d'une partie \(A\) de \(\mathbb R\) admet un plus petit (resp. grand) élément, celui ci est appelé borne supérieure (resp. inférieure) de \(A\) et se note \(\textrm{ sup } A\) (resp. \(\textrm{ inf }A\)).
\(a=\textrm{sup }A\) équivaut à :
\(\displaystyle{\forall x\in A,x\leq a}\)
\(\displaystyle{\forall b\in\mathbb R,b< a,\exists x\in A,b< x\leq a}\)
On écrit souvent 2. sous la forme
\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists x\in A,a-\epsilon< x\leq a}\)
Propriété :
Si \(A\) a une borne supérieure (resp. inférieure), celle-ci est unique.
Si \(A\) a un plus grand (resp. petit) élément \(a\), alors \(a=\textrm{ sup } A\) (resp. \(\textrm { inf } A\)).
Preuve :
La propriété 1. vient du fait que la borne supérieure est le plus petit des majorants et la 2. découle de la définition.
La réciproque de 2. est fausse comme le montre l'exemple :
\(\displaystyle{A=\left\{x\in\mathbb R,x=1+\frac{1}{n},n\in N^*\right\}}\)
on a \(\textrm{ sup }A=2\in A \textrm{ et inf }A=1\); 2 est plus grand élément, 1 n'est pas plus petit élément.
Remarque :
Toute partie majorée de \(\mathbb Q\) n'admet pas nécessairement de borne supérieure (voir exemple ci-dessous). C'est cette "lacune" de \(\mathbb Q\) qui est à la base d'une construction de \(\mathbb R\) (méthode dite des coupures).
Exemple :
Considérons maintenant l'ensemble \(E=\{x\in\mathbb Q, x^2< 2\}\), il a dans \(\mathbb R\) une borne supérieure qui est \(\sqrt{2}\): il est évident que \(\sqrt{2}\) est majorant de \(E\).
Aussi pour montrer que la propriété 2. est vérifiée il suffit de considérer une suite de rationnels qui converge vers \(\sqrt{2}\), ainsi la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} =\frac{u_n^{2}+1}{2u_n}\) et \(u_0=1\) (cf cours sur les suites), or \(\sqrt{2}\) n'appartient pas à \(\mathbb Q\).
Définition :
\(\mathbb R\) est défini comme devant satisfaire aux conditions suivantes :
\(\mathbb R\) est un corps totalement ordonné,
\(\mathbb R\) est une extension de \(\mathbb Q\),
toute partie non vide majorée de \(\mathbb R\) admet une borne supérieure.
La propriété 3. est dite propriété de la borne supérieure.
La propriété 2. exprime que \(\mathbb R\) est une extension de \(\mathbb Q\) c'est à dire que \(\mathbb R\) est un corps qui contient le corps \(\mathbb Q\); en fait \(\mathbb R\) est le plus petit corps contenant \(\mathbb Q\) et qui possède la propriété de la borne supérieure. On remarque qu'il ne peut être question de borne supérieure dans \(\mathbb C\) puisque ce corps n'est pas muni d'une relation d'ordre (a fortiori d'une relation d'ordre total).
On obtient, bien évidemment, en considérant l'ensemble des opposés de la partie envisagée, la propriété :
Toute partie non vide minorée de \(\mathbb R\) admet une borne inférieure.