Exercice 3
Durée : 10 mn
Note maximale : 8
Question
On considère la fonction numérique \(\displaystyle{f :x\mapsto\frac{1-\cos x}{1-\cos~(\sin x)}}\).
Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).
Peut-on prolonger \(f\) aux points où elle n'est pas définie ?
Solution
La fonction \(f\) est définie pour tout \(x\) réel tel que \(1-\cos~(\sin x)\ne0\), or on a \(\cos~(\sin x)=1\) si et seulement si \(\sin x=2k\pi,~k\in\mathbb Z\), soit, comme \(|\sin x|\le 1\), ceci équivaut à \(\sin x=0\) donc \(x\in\pi\mathbb Z\). La fonction \(f\) est définie pour tout \(x\) non multiple entier de \(\pi\).
[3 points]
La fonction \(f\) est continue en tout point de son ensemble de définition comme composée de fonctions continues.
Soit \(x_0=2k\pi\) , en posant \(h=x-x_0\) on est ramené à étudier la limite en 0 de :
\(\displaystyle{\frac{1-\cos~h}{1-\cos~(\sin~h)}=\frac{2\sin^2\left(\frac{h}{2}\right)}{2\sin^2\left(\frac{\sin~h}{2}\right)}}\),
en posant \(\displaystyle{u=\sin~\left(\frac{h}{2}\right)}\), on a \(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}u=0}\), l'expression s'écrit sous la forme : \(\displaystyle{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^2}\),
la limite est donc \(1\) et f est prolongeable par continuité en \(x_0\) en posant \(f(x_0)=1\).
[3 points]
Soit \(x_0=2k\pi+\pi\) , en posant \(h=x-x_0\) on est ramené à étudier la limite en 0 de : \(\displaystyle{\frac{1+\cos~h}{1-\cos~(\sin~h)}}\).
Si \(h\) tend vers \(0\), le numérateur a pour limite \(2\) et le dénominateur \(0\) : \(f\) tendant vers l'infini on ne peut pas la prolonger par continuité en \(x_0\).
[2 points]