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Le test comporte 4 questions :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
La durée indicative du test est de 54 minutes.
Commencer
Exercice 1

Soit l'application de dans définie par :

.

Étudier la continuité de en tout point de .

Exercice 2

Soit l'application de dans définie par :

.

Montrer que est continue seulement au point et étudier sa dérivabilité en .

Exercice 3

Soit une application non constante de dans telle que :

.

  1. Montrer que la fonction vérifie les propriétés suivantes :

    (i) ,

    (ii) .

  2. On suppose que la fonction vérifie en outre la condition :

    .

    Montrer que est continue au point , puis en tout point distinct de .

  3. On pose : .

    Montrer que est définie sur , vérifie :

    et est continue en tout point de .

  4. On rappelle qu'il existe une application unique de dans , vérifiant la relation précédente et continue en tout point de si on fixe la valeur de au point , c'est l'application : , en déduire l'expression de successivement pour et .

Exercice 4

Soit la fonction définie, pour tout entier naturel , par :

.

  1. Montrer que est continue en tout point de l'intervalle et tracer son graphe.

  2. Etudier la suite .

  3. Etudier, pour , la suite . Le résultat est-il contradictoire avec le résultat précédent ?

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Exercice 1

Les ensembles et étant denses dans , si est un réel, il existe une suite de rationnels dont la limite est et une suite d'irrationnels également de limite .

On a : et ,

d'où et ;

pour que la fonction soit continue en il faut que l'on ait :

soit .

La fonction n'est donc pas continue aux points distincts de .

[3 points]

Montrons maintenant que est effectivement continue par exemple en . Soit , la continuité des fonctions sinus et cosinus entraîne :

et .

En prenant , on obtient la propriété cherchée.

[3 points]

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Exercice 2

Les ensembles et étant denses dans , si est un réel il existe une suite de rationnels de limite et une suite d'irrationnels de limite .

On a : et ;

pour que la fonction soit continue en il faut (et a priori il ne suffit pas) que l'on ait d'où .

[3 points]

La continuité de la fonction en 0 est alors immédiate, la fonction carré étant continue on a :

,

d'où, pour tout (rationnel ou irrationnel) vérifiant on a .

[2 points]

Le rapport , ou suivant que est rationnel ou non, il a donc une limite nulle, la fonction est dérivable en et la dérivée est nulle en ce point.

[2 points]

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Exercice 3
  1. (i) Pour on a d'où ou

    Si , alors :

    soit

    ce qui est exclu car n'est pas constante , donc .

    [2 points]

    Réciproquement, s'il existe tel que , alors :

    , ce qui est exclu car n'est pas constante.

    [1 point]

    (ii) Pour , on a d'où .

    [1 point]

  2. On a et d'où .

    Pour étudier la fonction au voisinage de on pose , on étudie au voisinage de .

    On écrit :

    , quand et quand , on a donc :

    ; la fonction est continue au point .

    [2 points]

    Soit , on a d'où et la fonction est continue en .

    [2 points]

  3. Pour tout réel, on a d'où et est défini.

    On a alors les égalités successives :

    [2 points]

    La fonction est continue en tout point de comme composée des fonctions :

    [1 point]

  4. L'application est donc définie par , d'où, si l'on pose .

    D'où, en posant, .

    [2 points]

    On a donc l'expression de pour .

    Pour , on a avec

    d'où ou .

    Donc pour , si alors et si alors .

    [2 points]

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Exercice 4

1. Sur les intervalles et la fonction est polynomiale et donc continue. On a , la fonction est donc également continue au point .

La fonction est croissante sur et décroissante sur .

[2 points]

Voici le graphe pour les valeurs 1,...,10 de .

On écrit , or, quand tend vers , (limite classique qu'on peut retrouver en étudiant le logarithme du terme général de la suite).

On en déduit : quand .

[2 points]

3. On a : pour et pour . Soit un réel fixé vérifiant : , il existe un rang tel que, pour , en ait , d'où . On étudie alors :

;

comme et , tend vers moins l'infini et tend vers .

[3 points]

Ce résultat n'est pas en contradiction avec le résultat précédent : ici on étudie une suite avec fixé tandis qu'on étudiait précédemment une suite est une suite de limite .

[3 points]

Voici le graphe pour les valeurs 1,...,40 de .

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/38
Seuil critique :26
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :54 min.
Conclusion :
Légende :
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S'exercer
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