Exercice 1
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Soit \(f\) l'application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définie par :
\(x\in\mathbb Q~f(x)=\sin x,\quad x\notin\mathbb Q~f(x)=\cos x\) .
Étudier la continuité de \(f\) en tout point de \(\mathbb R\).
Solution
Les ensembles \(\mathbb Q\) et \(\mathbb R~\setminus~\mathbb Q\) étant denses dans \(\mathbb R\), si \(x_0\) est un réel, il existe une suite \((r_n)\) de rationnels dont la limite est \(x_0\) et une suite \((s_n)\) d'irrationnels également de limite \(x_0\).
On a : \(\forall n\in\mathbb N,~f(r_n)=\sin~r_n\) et \(f(s_n)=\cos~s_n\),
d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(r_n)=\sin x_0}\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}f(s_n)=\cos x_0}\);
pour que la fonction \(f\) soit continue en \(x_0\) il faut que l'on ait :
\(\displaystyle{\cos x_0=\sin x_0}\) soit \(\displaystyle{x_0=\frac{\pi}{4}+k\pi~~(k\in\mathbb Z)}\).
La fonction \(f\) n'est donc pas continue aux points distincts de \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}+k\pi}\).
[3 points]
Montrons maintenant que \(f\) est effectivement continue par exemple en \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\) . Soit \(\epsilon>0\), la continuité des fonctions sinus et cosinus entraîne :
\(\displaystyle{\exists\eta_1>0,~\forall x,~\left(\left|x-\frac{\pi}{4}\right|<\eta_1\Rightarrow\left|\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|<\epsilon\right)}\) et \(\displaystyle{\exists\eta_2>0,~\forall x,~\left(\left|x-\frac{\pi}{4}\right|<\eta_2\Rightarrow\left|\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|<\epsilon\right)}\).
En prenant \(\eta=\min~(\eta_1,\eta_2)\), on obtient la propriété cherchée.
[3 points]